如图，已知：射线OA为，射线OB为，动点P（x，y）在的内部，于M，于N，四边形ONPM的面积恰为k.   （1）当k为定值时，动点P的纵坐标y是横坐标x的函数

题型：解答题难度：困难来源：浙江省期末题

如图，已知：射线OA为，射线OB为，动点P（x，y）在的内部，于M，于N，四边形ONPM的面积恰为k.  
（1）当k为定值时，动点P的纵坐标y是横坐标x的函数，求这个函数y=f（x）的解析式；  
（2）根据k的取值范围，确定y=f（x）的定义域。

答案

解：（1）设M(a，ka)，N(b，-kb)，(a>0，b>0)。
则|OM|=，|ON|=。
由动点P在∠AOx的内部，得0<y<kx.
∴|PM|==，|PN |==
∴（|OM|·|PM|+|ON|·|PN|）
=[a(kx-y)+b(kx+y)]=[k(a+b)x - (a-b)y]=k
∴k(a+b)x-( a -b)y=2k          ①
又由k_PM= -=， k_PN==，
分别解得，
代入①式消a、b，并化简得x²-y²=k²+1。 
 ∵y>0，
∴
（2）由0<y<kx，得  0<<kx
       (*)
当k=1时，不等式②为0<2恒成立，
∴(*)x>。
当0<k<1时，由不等式②得。
当k>1时，由不等式②得
但垂足N必须在射线OB上，否则O、N、P、M四点不能组成四边形，
所以还必须满足条件：，
将它代入函数解析式，得
解得 (k>1).
综上：当k=1时，定义域为{x|x>}；
当0<k<1时，定义域为{x|};
当k>1时，定义域为{x|}.