已知定义域为R的函数f（x）满足f（f（x）-x2+x）= f（x）-x2+x，（Ⅰ）若f（2）=3，求f（1）；又若f（0）=a，求f（a）；（Ⅱ）设有且仅有

题型：解答题难度：困难来源：重庆市高考真题

已知定义域为R的函数f（x）满足f（f（x）-x²+x）= f（x）-x²+x，
（Ⅰ）若f（2）=3，求f（1）；又若f（0）=a，求f（a）；
（Ⅱ）设有且仅有一个实数x₀，使得f（x₀）=x₀，求函数f（x）的解析表达式。

答案

解：（Ⅰ）因为对任意x∈R，有，
所以，
又由f（2）=3，得，即f（1）=1；
若f（0）=a，即。
（Ⅱ）因为对任意x∈R，有，
又因为有且只有一个实数x₀，使得f（x₀）=x₀，
所以对任意x∈R，有，
在上式中令，
又因为，
若，即，
但方程有两个不同实根，与题设条件矛盾，故；
若x₀=1，则有，
易验证该函数满足题设条件；
综上，所求函数为。