已知函数f(x)＝a－.(1)求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f(x)<2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)＝a－.
(1)求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f(x)<2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．

答案

（1）见解析   （2）(－∞，3]

解析

解：(1)证明：当x∈(0，＋∞)时，
f(x)＝a－，
设0<x₁<x₂，则x₁x₂>0，x₂－x₁>0，
f(x₂)－f(x₁)＝(a－)－(a－)＝－＝>0，
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(2)由题意：a－<2x在(1，＋∞)上恒成立，
设h(x)＝2x＋，
则a<h(x)在(1，＋∞)上恒成立．
任取x₁，x₂∈(1，＋∞)且x₁<x₂，
h(x₁)－h(x₂)＝(x₁－x₂)(2－)．
∵1<x₁<x₂，∴x₁－x₂<0，x₁x₂>1，
∴2－>0，∴h(x₁)<h(x₂)，
∴h(x)在(1，＋∞)上单调递增．
故a≤h(1)即a≤3，
∴a的取值范围是(－∞，3]．