已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f()=f(x1)-f(x2),且当x>1时,f(x)<0.(1)求f(1)的值;(2)判断f(x)的
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f()=f(x1)-f(x2),且当x>1时,f(x)<0. (1)求f(1)的值; (2)判断f(x)的单调性; (3)若f(3)=-1,解不等式f(|x|)<-2. |
答案
(1)0 (2)函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数 (3){x|x>9或x<-9} |
解析
解:(1)令x1=x2>0,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0. (2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,则>1. 由于当x>1时,f(x)<0,所以f()<0,即f(x1)-f(x2)<0, 因此f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数. (3)令x1=9,x2=3,由f()=f(x1)-f(x2),得f()=f(9)-f(3), 而f(3)=-1,所以f(9)=-2. 由于函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数, 所以f(|x|)<f(9),即|x|>9,解得x>9或x<-9, 因此原不等式的解集为{x|x>9或x<-9}. |
举一反三
下列函数中,既是奇函数又是减函数的是( )A.y= | B.y=|x| | C.y=x+ | D.y=2-x-2x |
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定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,且f()=0,则不等式f(x)>0的解集是( )A.(0,) | B.(2,+∞) | C.(0,)∪(2,+∞) | D.(,1)∪(2,+∞) |
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已知定义在R上的偶函数满足:f(x+4)=f(x)+f(2),且当x∈[0,2]时,y=f(x)单调递减,给出以下四个命题: ①f(2)=0; ②x=-4为函数y=f(x)图象的一条对称轴; ③函数y=f(x)在[8,10]上单调递增; ④若方程f(x)=m在[-6,-2]上的两根为x1,x2,则x1+x2=-8. 以上命题中所有正确命题的序号为________. |
已知f(x)是偶函数,且f(x)在[0,+∞)上是增函数,如果f(ax+1)≤f(x-2)在x∈[,1]上恒成立,求实数a的取值范围. |
已知函数f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠0},对定义域内的任意x1、x2,都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时,f(x)>0. (1)求证:f(x)是偶函数; (2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数. |
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