试题分析:(1)判定函数奇偶性,首先判定函数定义域是否关于原点对称,然后再判断与的相等或相反关系.本题定义域为一切实数,关于原点对称.函数为分段函数,需分类讨论. 当时,,.当时,,.故为偶函数.(2)利用定义研究函数单调性,需注重作差后的变形,关键是提取公因式,进行因式分解,以便判断符号.(3)由于是同区间的两个任意数,所以只需证,从而本题实质为求函数最值.由函数奇偶性及单调性知: ,所以成立. 试题解析:解:(1)∵当时,,∴ ∴ 2分 ∵当时,,∴ ∴ 4分 ∴对都有,故为偶函数 5分 (2)当时, 设且,则 7分 ∴当时,即 当时,即 9分 ∴函数在区间上是减函数,在区间上是增函数 11分 (3)由(2)可知,当时: 若,则即 若,则即 ∴当时,有 12分 又由(1)可知为偶函数,∴当时,有 13分 ∴若,时,则, 14分 ∴,即 15分 |