已知函数对任意实数恒有且当时，有且.(1)判断的奇偶性；(2)求在区间上的最大值；(3)解关于的不等式.

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数对任意实数恒有且当时，有且.
(1)判断的奇偶性；
(2)求在区间上的最大值；
(3)解关于的不等式.

答案

(1)奇函数；(2)；
(3)当时，
当时，
当时，
当时,

解析

试题分析：(1)赋值法：先令，再令
(2)根据 以及当 时，有 ，利用函数单调性的定义判断得出为上的减函数；并由单调性求其最值;
(3)由（1）和（2）的结论，先将不等式化为；再由函数的单调性转化为 关于的不等式对的不同取值，分别讨论不等式的解.
试题解析：解（1）取则
取
对任意恒成立 ∴为奇函数.
（2）任取， 则 

 又为奇函数 
∴在（－∞，+∞）上是减函数.
对任意，恒有
而
∴在[－3，3]上的最大值为6
（3）∵为奇函数，∴整理原式得
进一步可得 
而在（－∞，+∞）上是减函数，
 
当时，
当时，
当时，
当时,