已知函数．（Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程；（Ⅱ）当时，讨论函数在区间上的单调性；（Ⅲ）证明不等式对任意成立．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，讨论函数在区间上的单调性；
（Ⅲ）证明不等式对任意成立．

答案

（Ⅰ）．
（Ⅱ）函数在区间单调递减，在区间上单调递增．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，在区间上单调递增；
从而可得，
得到对任意成立．
通过取，，得，．
将上述n个不等式求和,得到:，
证得对任意成立．

解析

试题分析：（Ⅰ）首先求，切线的斜率，求得切线方程.
（Ⅱ）当时，根据，只要考查的分子的符号．
通过讨论，得时在区间上单调递增；
当时，令求得其根． 利用“表解法”得出结论：函数在区间单调递减，在区间上单调递增．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，在区间上单调递增；
从而可得，
得到对任意成立．
通过取，，得，．
将上述n个不等式求和,得到:，
证得对任意成立．
试题解析：．
（Ⅰ）当时，，切线的斜率，
所以切线方程为，即．       3分
（Ⅱ）当时，因为，所以只要考查的符号．
由，得，
当时，，从而，在区间上单调递增；
当时，由解得．  6分
当变化时，与的变化情况如下表：

函数在区间单调递减，在区间上单调递增． 9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，在区间上单调递增；
所以，
即对任意成立．      11分
取，，
得，即，．  13分
将上述n个不等式求和,得到:，
即不等式对任意成立．   14分