试题分析:(Ⅰ)根据题中“梦想函数”的定义判断函数是否为“梦想函数”;(Ⅱ)根据“梦想函数”的定义结合参数分离法将问题转化型的恒成立问题,等价转化为去处理,但需定义域的开闭对参数的取值范围的影响;(Ⅲ)根据“梦想函数”的定义结合参数分离法转化为恒成立问题处理,在转化的过程中,若两边同时除以,注意对的取值符号分正负以及进行讨论,从而得出参数的取值范围,进而确定的最大整数值. 试题解析:(Ⅰ)函数不是其定义域上的梦想函数. 1分 理由如下: 定义域,, 2分 存在,使,故函数不是其定义域上的梦想函数. 4分 (Ⅱ),,若函数在上为梦想函数, 则在上恒成立, 5分 即在上恒成立, 因为在内的值域为, 7分 所以. 8分 (Ⅲ),由题意在恒成立, 故,即在上恒成立. ①当时,显然成立; 9分 ②当时,由可得对任意恒成立. 令,则, 10分 令, 则. 当时,因为,所以在单调递减; 当时,因为,所以在单调递增. ∵,, ∴当时,的值均为负数. ∵,, ∴当时, 有且只有一个零点,且. 11分 ∴当时,,所以,可得在单调递减; 当时,,所以,可得在单调递增. 则. 12分 因为,所以, . 13分 ∵在单调递增,,, ∴, 所以,即. 又因为,所以的最大整数值为. 14分 |