已知函数，.(I)求函数的单调区间；(Ⅱ)当时，函数恒成立，求实数的取值范围；(Ⅲ)设正实数满足，求证：．

题型：解答题难度：简单来源：不详

已知函数，.
(I)求函数的单调区间；
(Ⅱ)当时，函数恒成立，求实数的取值范围；
(Ⅲ)设正实数满足，求证：．

答案

当时，只有单调递增区间;当时，单调递增区间为，,单调递减区间为.;详见解析.

解析

试题分析：先求出的导数，讨论，利用导数的正负与函数单调性得关系求出单调区间；当x>1时，函数f(x)>g(x)恒成立转化为>0恒成立.结合第问讨论的单调区间得出的范围；结合第问，令，，所以，再利用柯西不等式，，其中由条件.最后得证.
试题解析：（Ⅰ）易知,定义域是.
                                1分
由的判别式
①当即时，恒成立，则在单调递增    2分
②当时，在恒成立，则在单调递增      3分
③当时，方程的两正根为
则在单调递增，单调递减，单调递增
综上，当时，只有单调递增区间
当时，单调递增区间为，
单调递减区间为   5分
（Ⅱ）即时，恒成立
当时，在单调递增 ∴当时，满足条件  7分
当时，在单调递减
则在单调递减
此时不满足条件
故实数的取值范围为                                         9分
（Ⅲ）由（2）知，在恒成立
令 则         10分
∴                   11分
又
其中
∴                          13分
∴                                            14分