试题分析:(Ⅰ)对参数的值影响函数极值点的存在与否进行分类讨论,结合求解导数不等式求相应的单调区间;(Ⅱ)先将曲线在点、处的切线方程求出,并将交点的坐标假设出来,利用交点坐标满足两条切线方程,得到两个不同的等式,然后利用等式的结构进行相应转化为函数的零点个数来处理;(Ⅲ)可以根据题中的条件进行构造,但要注意定义域等相应问题. 试题解析:(Ⅰ)依题可得 , 当时,恒成立,函数在上单调递增; 当时,由,解得或, 单调递增区间为和. 4分 (Ⅱ)设切线与直线的公共点为,当时,, 则,因此以点为切点的切线方程为. 因为点在切线上,所以,即. 同理可得方程. 6分 设,则原问题等价于函数至少有两个不同的零点. 因为, 当或时,,单调递增,当时,,单调递减. 因此,在处取极大值,在处取极小值. 若要满足至少有两个不同的零点,则需满足解得. 故存在,且交点纵坐标的取值范围为. 10分 (Ⅲ)由(Ⅰ)知,,即. 11分 本题答案不唯一,以下几个答案供参考: ①,其中; ②其中; ③其中. 14分 |