试题分析:⑴因为函数, 所以,, 又因为,所以函数在点处的切线方程为. ⑵由⑴,. 因为当时,总有在上是增函数, 又,所以不等式的解集为, 故函数的单调增区间为. ⑶因为存在,使得成立, 而当时,, 所以只要即可. 又因为,,的变化情况如下表所示: 所以在上是减函数,在上是增函数,所以当时,的最小值,的最大值为和中的最大值. 因为, 令,因为, 所以在上是增函数. 而,故当时,,即; 当时,,即. 所以,当时,,即,函数在上是增函数,解得;当时,,即,函数在上是减函数,解得. 综上可知,所求的取值范围为. 点评:第一问主要利用导数的几何意义:函数在某一点处的导数值等于该点处的切线斜率;第二问求单调增区间主要是通过导数大于零;第三问的不等式恒成立转化为求函数最值,这是函数题经常用到的转化方法,本题第三问有一定的难度 |