设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a>0.(1)求f(x)的单调区间;(2)当x>0时,证明不等式:<ln(x+1)<
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设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a>0.(1)求f(x)的单调区间;(2)当x>0时,证明不等式:<ln(x+1)<
题型:解答题
难度:简单
来源:不详
设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a>0.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)当x>0时,证明不等式:
<ln(x+1)<x;
(3)设f(x)的最小值为g(a),证明不等式:-1<ag(a)<0
答案
(1) f(x)在(-1,
)为减,在(
,+
)为增
(2)将所证明的不等式利用构造函数,借助于导数的思想求解最值,来证明不等式恒大于等于零或者恒小于等于零即可。
(3)在上一问的基础上,进一步分析得到a的表达式,利用构造函数来求证。
解析
试题分析:解:(1)f’(x)=
(x>-1,a>0)
令f’(x)=0
f(x)在(-1,
)为减,在(
,+
)为增 f (x)
min
=f(
)=1-(a+1)ln(
+1)
(2)设F(x)=ln(x+1)-
F’(x)=
F(x)在(0,+
)为增函数
F(x)>F(0)="0"
F(x)>0即
G(x)=x-ln(x+1)(x>0)
G’(x)=1-
G(x)在(0,+
)为增函数
G(x)>G(0)="0"
G(x)>0即ln(x+1)<x
经上可知
(3)由(1)知:
点评:导数在函数中的应用,频率最多的试题就是考查函数的单调性,以及证明不等式。那么对于后者的求解,关键是构造函数,借助于函数的最值来得到证明。
举一反三
(本小题满分12分)
一片森林原来面积为
,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的
,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的
.
(Ⅰ)求每年砍伐面积的百分比;
(Ⅱ)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?
(Ⅲ)今后最多还能砍伐多少年?
题型:解答题
难度:简单
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设函数
的定义域为
,
,对于任意的
,
,则不等式
的解集为( )
A.
B.
C.
D.
题型:单选题
难度:简单
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函数
在实数集上是增函数,则
A.
B.
C.
D.
题型:单选题
难度:简单
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定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x
1
,x
2
∈[0,+∞)(x
1
≠x
2
),有
<0,则( )
A.f(3)<f(-2)<f(1)
B.f(1)<f(-2)<f(3)
C.f(-2)<f(1)<f(3)
D.f(3)<f(1)<f(-2)
题型:单选题
难度:简单
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若
,则函数
的解集是( )
A.
B.
C.
D.
题型:单选题
难度:简单
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