(本题13分)已知函数。(Ⅰ)若,试判断并证明的单调性;(Ⅱ)若函数在上单调,且存在使成立,求的取值范围;(Ⅲ)当时,求函数的最大值的表达式。
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(本题13分)已知函数。(Ⅰ)若,试判断并证明的单调性;(Ⅱ)若函数在上单调,且存在使成立,求的取值范围;(Ⅲ)当时,求函数的最大值的表达式。
题型:解答题
难度:简单
来源:不详
(本题13分)已知函数
。
(Ⅰ)若
,试判断并证明
的单调性;
(Ⅱ)若函数
在
上单调,且存在
使
成立,求
的取值范围;
(Ⅲ)当
时,求函数
的最大值的表达式
。
答案
(Ⅰ)用定义证明函数的单调性;(Ⅱ)
;(Ⅲ)
。
解析
试题分析:(Ⅰ)当
时,
在
上单调递增 1分
证明:
1分
则
2分
,
在
上单调递增。
(Ⅱ)当
时,
由于
则
则当
时,
,
单调增;
当
时,
,
单调减。
所以,当
时,
在
上单调增; 2分
又存在
使
成立
所以
。 2分
综上,
的取值范围为
。
(Ⅲ)当
时,
由(Ⅰ)知
在区间
上单调递增, 1分
由(Ⅱ)知,①当
时,
在
上单调增,
②当
时,
在
上单调递增,在
上单调递减,
又因为
在
上是连续函数
所以,①当
时,
在
上单调增,则
;
②当
时,
在
上单调增,在
上单调减,在
上单调增,
2分
则
综上,
的最大值的表达式
。 2分
点评:解决恒成立问题常用变量分离法,变量分离法主要通过两个基本思想解决恒成立问题, 思路1:
在
上恒成立
;思路2:
在
上恒成立
。注意恒成立问题与存在性问题的区别。
举一反三
已知函数
恒成立,则k的取值范围为
。
题型:填空题
难度:简单
|
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设偶函数
在
上是增函数,则
与
的
大小关系是( )
A.
B.
C.
D.不能确定
题型:单选题
难度:简单
|
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(本题满分14分)
已知函数
(1)
(2)
题型:解答题
难度:简单
|
查看答案
(本小题满分14分)已知
是定义在[-1,1]上的奇函数,当
,且
时有
.
(1)判断函数
的单调性,并给予证明;
(2)若
对所有
恒成立,求实数m的取值范围.
题型:解答题
难度:简单
|
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已知定义在R上的奇函数
,满足
,且在区间
上是增函数,若方程
在区间
上有四个不同的根
,则
A.6
B.
C.18
D.0
题型:单选题
难度:简单
|
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