(本题13分)已知函数。(Ⅰ)若,试判断并证明的单调性;(Ⅱ)若函数在上单调,且存在使成立,求的取值范围;(Ⅲ)当时,求函数的最大值的表达式。

(本题13分)已知函数。(Ⅰ)若,试判断并证明的单调性;(Ⅱ)若函数在上单调,且存在使成立,求的取值范围;(Ⅲ)当时,求函数的最大值的表达式。

题型:解答题难度:简单来源:不详
(本题13分)已知函数
(Ⅰ)若,试判断并证明的单调性;
(Ⅱ)若函数上单调,且存在使成立,求的取值范围;
(Ⅲ)当时,求函数的最大值的表达式
答案
(Ⅰ)用定义证明函数的单调性;(Ⅱ);(Ⅲ)
解析

试题分析:(Ⅰ)当时,上单调递增           1分
证明:              1分

                               2分
上单调递增。  
(Ⅱ)当时,
由于


则当时,单调增;
时,单调减。
所以,当时,上单调增;                2分
又存在使成立
所以。              2分
综上,的取值范围为
(Ⅲ)当时,
由(Ⅰ)知在区间上单调递增,    1分
由(Ⅱ)知,①当时,上单调增,
②当时,上单调递增,在上单调递减,
又因为上是连续函数
所以,①当时,上单调增,则
②当时,上单调增,在上单调减,在上单调增,
2分
 
综上,的最大值的表达式。                 2分
点评:解决恒成立问题常用变量分离法,变量分离法主要通过两个基本思想解决恒成立问题, 思路1:上恒成立;思路2: 上恒成立。注意恒成立问题与存在性问题的区别。
举一反三
已知函数恒成立,则k的取值范围为        
题型:填空题难度:简单| 查看答案
设偶函数上是增函数,则
大小关系是(    )
A.B.
C.D.不能确定

题型:单选题难度:简单| 查看答案
(本题满分14分)
已知函数
(1)
(2)
题型:解答题难度:简单| 查看答案
(本小题满分14分)已知是定义在[-1,1]上的奇函数,当,且时有.
(1)判断函数的单调性,并给予证明;
(2)若对所有恒成立,求实数m的取值范围.
题型:解答题难度:简单| 查看答案
已知定义在R上的奇函数,满足,且在区间上是增函数,若方程在区间上有四个不同的根,则
A.6B.C.18D.0

题型:单选题难度:简单| 查看答案
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