已知a>0,bR,函数.(Ⅰ)证明:当0≤x≤1时,(ⅰ)函数的最大值为|2a-b|﹢a;(ⅱ) +|2a-b|﹢a≥0;(Ⅱ) 若﹣1≤≤1对x[0,1]恒成
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已知a>0,bR,函数.(Ⅰ)证明:当0≤x≤1时,(ⅰ)函数的最大值为|2a-b|﹢a;(ⅱ) +|2a-b|﹢a≥0;(Ⅱ) 若﹣1≤≤1对x[0,1]恒成
题型:解答题
难度:简单
来源:不详
已知a>0,b
R,函数
.
(Ⅰ)证明:当0≤x≤1时,
(ⅰ)函数
的最大值为|2a-b|﹢a;
(ⅱ)
+|2a-b|﹢a≥0;
(Ⅱ) 若﹣1≤
≤1对x
[0,1]恒成立,求a+b的取值范围.
答案
(Ⅰ) 见解析;
(Ⅱ)
.
解析
本题主要考察不等式,导数,单调性,线性规划等知识点及综合运用能力。
(Ⅰ)
(ⅰ)
.
当b≤0时,
>0在0≤x≤1上恒成立,
此时
的最大值为:
=|2a-b|﹢a;
当b>0时,
在0≤x≤1上的正负性不能判断,
此时
的最大值为:
=|2a-b|﹢a;
综上所述:函数
在0≤x≤1上的最大值为|2a-b|﹢a;
(ⅱ) 要证
+|2a-b|﹢a≥0,即证
=﹣
≤|2a-b|﹢a.
亦即证
在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a,
∵
,∴令
.
当b≤0时,
<0在0≤x≤1上恒成立,
此时
的最大值为:
=|2a-b|﹢a;
当b<0时,
在0≤x≤1上的正负性不能判断,
≤|2a-b|﹢a;
综上所述:函数
在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a.
即
+|2a-b|﹢a≥0在0≤x≤1上恒成立.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:函数
在0≤x≤1上的最大值为|2a-b|﹢a,
且函数
在0≤x≤1上的最小值比﹣(|2a-b|﹢a)要大.
∵﹣1≤
≤1对x
[0,1]恒成立,
∴|2a-b|﹢a≤1.
取b为纵轴,a为横轴.
则可行域为:
和
,目标函数为z=a+b.
作图如下:
由图易得:当目标函数为z=a+b过P(1,2)时,有
,
.
∴所求a+b的取值范围为:
.
举一反三
在平面直角坐标系
中,圆
的方程为
,若直线
上
至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆
有公共点,则
的最大值是
▲
.
题型:填空题
难度:简单
|
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(本题满分15分)
设函数
在
及
时取得极值.(Ⅰ)求
a、b
的值;(Ⅱ)若对于任意的
,都有
成立,求
c
的取值范围.
题型:解答题
难度:简单
|
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函数
在
上的最大值为
题型:填空题
难度:简单
|
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(12分)
已知x=1是函数f(x)=mx
3
-3(m+1)x
2
+nx+1的一个极值点,其中m,n∈R.
(1)求m与n的关系式;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)当x∈[-1,1]时,m<0,函数y=f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,求m的取值范围.
题型:解答题
难度:简单
|
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已知函数
,
(Ⅰ)求函数
的单调递减区间;
(Ⅱ)令函数
(
),求函数
的最大值的表达式
;
题型:解答题
难度:简单
|
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