已知二次函数f(x)满足：①在x=1时有极值；②图象过点(0,-3)，且在该点处的切线与直线2x+y=0平行．⑴求f(x)的解析式；⑵求函数g(x)=f(x2)

题型：解答题难度：简单来源：不详

已知二次函数f(x)满足：①在x=1时有极值；②图象过点(0,-3)，且在该点处的切线与直线2x+y=0平行．
⑴求f(x)的解析式；
⑵求函数g(x)=f(x²)的单调递增区间.

答案

（1）f(x)=x²-2x-3；（2）函数g(x)的单调递增区间为(-1,0)，(1,+∞)

解析

⑴设f(x)=ax²+bx+c，则f ¢(x)=2ax+b．
由题设可得：即解得
所以f(x)=x²-2x-3．
⑵g(x)=f(x²)=x⁴－2x²－3，g¢(x)=4x³－4x=4x(x－1)(x+1)．列表：

x	(-∞,-1)	-1	(-1,0)	0	(0,1)	1	(1,+∞)
f¢(x)	－	0	+	0	－	0	+
f(x)	↘		↗		↘		↗

 
由表可得：函数g(x)的单调递增区间为(-1,0)，(1,+∞)