已知函数f(x)=x+3x：（1）写出此函数的定义域和值域；（2）证明函数在（0，+∞）为单调递减函数；（3）试判断并证明函数y=（x-3）f（x）的奇偶性．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=

x+3

x

：
（1）写出此函数的定义域和值域；
（2）证明函数在（0，+∞）为单调递减函数；
（3）试判断并证明函数y=（x-3）f（x）的奇偶性．

答案

（1）函数f（x）的定义域为{x|x≠0}．
f(x)=1+

3

x

，∴值域为{y|y≠1}．
（2）证明：设0＜x₁＜x₂，
则：f(x2)-f(x1)=(1+

3

x2

)-(1+

3

x1

)=

3

x2

-

3

x1

=

3(x1-x2)

x1•x2

，
∵0＜x₁＜x₂，∴x₁•x₂＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁），
∴函数在（0，+∞）上为单调递减函数．
（3）函数定义域关于原点对称，
设g(x)=(x-3)f(x)=

x2-9

x

，
∵g(-x)=

x2-9

-x

=-g(x)，
∴此函数为奇函数．