设f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且对任意a、b∈[-1,1],当a+b≠0时,都有f(a)+f(b)a+b>0.(1)若a>b,比较f(a)与f(b)

设f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且对任意a、b∈[-1,1],当a+b≠0时,都有f(a)+f(b)a+b>0.(1)若a>b,比较f(a)与f(b)

题型:解答题难度:一般来源:不详
设f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且对任意a、b∈[-1,1],当a+b≠0时,都有
f(a)+f(b)
a+b
>0.
(1)若a>b,比较f(a)与f(b)的大小;
(2)解不等式f(x-
1
2
)<f(x-
1
4
);
(3)记P={x|y=f(x-c)},Q={x|y=f(x-c2)},且P∩Q=∅,求c的取值范围.
答案
设-1≤x1<x2≤1,则x1-x2≠0,
f(x1)+f(-x2)
x1+(-x2)
>0.
∵x1-x2<0,∴f(x1)+f(-x2)<0.
∴f(x1)<-f(-x2).
又f(x)是奇函数,∴f(-x2)=-f(x2).
∴f(x1)<f(x2).
∴f(x)是增函数.
(1)∵a>b,∴f(a)>f(b).
(2)由f(x-
1
2
)<f(x-
1
4
),得





-1≤x-
1
2
≤1
-1≤x-
1
4
≤1
x-
1
2
<x-
1
4
∴-
1
2
≤x≤
5
4

∴不等式的解集为{x|-
1
2
≤x≤
5
4
}.
(3)由-1≤x-c≤1,得-1+c≤x≤1+c,
∴P={x|-1+c≤x≤1+c}.
由-1≤x-c2≤1,得-1+c2≤x≤1+c2
∴Q={x|-1+c2≤x≤1+c2}.
∵P∩Q=∅,
∴1+c<-1+c2或-1+c>1+c2
解得c>2或c<-1.
举一反三
已知函数f(x)=
1
1+x2

(1)求证:函数f(x)在(-∞,0]上是增函数.
(2)求函数f(x)=
1
1+x2
在[-3,2]上的最大值与最小值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2在区间[0,2]上有最小值3,求实数a的值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
下列函数中,在区间(-∞,0)上是增函数的是(  )
A.y=x2-4x+8B.y=丨x-1丨C.y=-
2
x-1
D.y=


1-x
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,且f(x-1)<f(1-3x),则x的取值范围(  )
A.x≤
1
2
B.x<
1
2
C.0≤x<
1
2
D.0<x≤
1
2
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知f(x)为R上的减函数,则满足f(|1-
1
x
|)<f(1)
的实数x的取值范围是(  )
A.(-∞,
1
2
)
B.(-∞,0)∪(0,
1
2
)
C.(-
1
2
,+∞)
D.(-
1
2
,0)∪(0,+∞)
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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