已知函数f（x）=x|x-m|+2x-3（m∈R）．（1）若m=4，求函数y=f（x）在区间[1，5]的值域；（2）若函数y=f（x）在R上为增函数，求m的取值

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=x|x-m|+2x-3（m∈R）．
（1）若m=4，求函数y=f（x）在区间[1，5]的值域；
（2）若函数y=f（x）在R上为增函数，求m的取值范围．

答案

（1）f（x）=x|x-4|+2x-3=

x2-2x-3(x≥4)

-x2+6x-3(x＜4)

(x-1)2-4(x≥4)

-(x-3)2+6(x＜4)

（6分）
∵x∈[1，5]
∴f（x）在[1，3]上递增，在[3，4]上递减，在[4，5]上递增．
∵f（1）=2，f（3）=6，f（4）=5，f（5）=12，
∴f（x）的值域为[2，12]（10分）
（2）f（x）=x|x-m|+2x-3=

x2-(m-2)x-3(x≥m)

-x2+(m+2)x-3(x＜m)

(x-

m-2

)2-3-(

m-2

)2(x≥m)

-(x-

m+2

)2-3+(

m+2

)2(x＜m)

因为f（x）在R上为增函数，所以

m-2

≤m

m+2

≥m

-2≤m≤2．（15分）

举一反三

若函数f（x）的图象关于原点对称，且在（0，+∞）上是增函数，f（-3）=0，则不等式xf（x）＜0的解集是 ______．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

已知函数f（x）=3-|x|，g（x）=x²-4x+3，构造函数F（x），定义如下：当f（x）≥g（x）时，F（x）=g（x）；当f（x）＜g（x）时，F（x）=f（x），则F（x）在[-3，3]（　　）

A．有最大值3，最小值-1

B．有最大值7-2

，无最小值

C．有最大值3，无最小值

D．无最大值，也无最小值

题型：单选题难度：一般| 查看答案

判断函数f(x)=-

+1在（-∞，0）上是增函数还是减函数，并证明你的结论．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

已知函数f(x)=

x≥1

-10＜x＜1.

（I）当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，求

的值；
（II）是否存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域、值域都是[a，b]，若存在，则求出a，b的值，若不存在，请说明理由．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

已知函数f(x)=ax2-2

4+2b-b2

x，g(x)=-

1-(x-a)2

（a，b∈R）．
（1）当b=0时，若f（x）在（-∞，2]上单调递减，求a的取值范围；
（2）求满足下列条件的所有整数对（a，b）：存在x₀，使得f（x₀）是f（x）的最大值，g（x₀）是g（x）的最小值；
（3）对满足（2）中的条件的整数对（a，b），奇函数h（x）的定义域和值域都是区间[-k，k]，且x∈[-k，0]时，h（x）=f（x），求k的值．

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