设函数f(x)=x2+1x(x≠0)(1)判断函数f(x)的奇偶性,并证明;(2)若0<x<1,判断f(x)的单调性,用定义证明,并比较f(sinα)与f(co
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设函数f(x)=x2+1x(x≠0)(1)判断函数f(x)的奇偶性,并证明;(2)若0<x<1,判断f(x)的单调性,用定义证明,并比较f(sinα)与f(co
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
设函数
f(x)=
x
2
+1
x
(x≠0)
(1)判断函数f(x)的奇偶性,并证明;
(2)若0<x<1,判断f(x)的单调性,用定义证明,并比较f(sinα)与
f(cosα)(0<α<
π
2
)
的大小.
答案
(1)函数的定义域关于原点对称,
因为
f(-x)=
x
2
+1
-x
=-
x
2
+1
x
=-f(x)
,
所以函数f(x)是奇函数.
(2)设0<x
1
<x
2
<1,
则
f(
x
2
)-f(
x
1
)=
x
22
+1
x
2
-
x
21
+1
x
1
=(
x
2
-
x
1
)⋅
x
1
x
2
-1
x
1
x
2
,
因为0<x
1
<x
2
0,x
1
x
2
<1,
所以
f(
x
2
)-f(
x
1
)=(
x
2
-
x
1
)⋅
x
1
x
2
-1
x
1
x
2
<0
,
即f(x
2
)<f(x
1
),所以函数在(0,1)上为单调减函数.
当0
<α<
π
4
时,cosα>sinα,此时f(sinα)>f(cosα),
当
α=
π
4
时,cosα=sinα,此时f(sinα)=f(cosα),
当
π
4
<α<
π
2
时,cosα<sinα,此时f(sinα)<f(cosα).
举一反三
已知函数f(x)=x
2
-2x.
(1)用函数的单调性定义在证明f(x)在[1,+∞)上是增函数;
(2)求函数f(x)在[-1,5]上的最大值和最小值.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)对任意的x,y∈R,都有f(x)+f(y)=f(x+y).
(1)求f(0)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性;
(3)若f(1)=1,且f(x)在[0,+∞)上是增函数,求满足不等式f(2
x
-x)+f(x)>4的x的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知f(x)=
x
2
(x≥0)
x (x<0)
,
g(x)=
x (x≥0)
-
x
2
(x<0)
,则f[g(-2)]=( )
A.-4
B.4
C.-2
D.2
题型:单选题
难度:一般
|
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设f(x)是定义在(-∞,+∞)上的函数,对于任意
x∈R,f(x+1)=
1-f(x)
1+f(x)
,且当0<x≤1时,f(x)=x,则f(5.5)=( )
A.1
B.-1
C.
1
2
D.
1
3
题型:单选题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=1+a•
(
1
2
)
x
+
(
1
4
)
x
;g(x)=
1-m•
2
x
1+m•
2
x
.
(1)若对任意x∈[0,+∞),总有f(x)>0成立,求实数a的取值范围;
(2)若m>0(m为常数),且对任意x∈[0,1],总有|g(x)|≤M成立,求M的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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