某种商品原来定价为每件p元，每月将卖出n件．假若定价上涨x成（注：x成即x10，0＜x≤10），每月卖出数量将减少y成，而销售金额变成原来的z倍．（1）若y=2

题型：解答题难度：一般来源：不详

某种商品原来定价为每件p元，每月将卖出n件．假若定价上涨x成（注：x成即

x

10

，0＜x≤10），每月卖出数量将减少y成，而销售金额变成原来的z倍．
（1）若y=

2

3

x，求使销售金额比原来有所增加时的x的取值范围；
（2）若y=ax，其中a是满足

1

3

≤a＜1的常数，用a来表示当销售金额最大时x的值．

答案

（1）该商品定价上涨x成时，上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是
p（1+

x

10

），n（1-

y

10

），npz
因而有：npz=p（1+

x

10

）•n（1-

y

10

），
∴z=

1

100

(10+x)(10-y)，
当y=

2

3

x时
由z=

1

100

(10+x)(10-

2x

3

)＞1
得0＜x＜5
（2）该商品定价上涨x成时，上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是
p（1+

x

10

），n（1-

y

10

），npz
因而有：npz=p（1+

x

10

）•n（1-

y

10

），
∴z=

1

100

(10+x)(10-y)，在y=ax的条件下 
z=

1

100a

(10a+ax)(10-ax)，
∵

1

3

≤a≤1，0＜x＜10，
∴10-ax＞0
∴（10a+ax）（10-ax）≤

[(10a+ax)+(10-ax)]2

4

=25(a+1)2，
当且仅当10a+ax=10-ax，即x=

5(1-a)

a

时成立．
即要使的销售金额最大，只要z值最大，这时应有x=

5(1-a)

a

．