(1)令x=y=1得:f(1)=f(1)+f(1), 解得f(1)=0, 令x=-x、y=1得:f(-x)=f(x)+f(1)=f(x) ∴f(x)为偶函数; (2)函数f(x)在(0,+∞)上单调递减, 证明如下:设x1>x2>0,则>1, ∵当x>1时f(x)<0,f(xy)=f(x)+f(y), ∴f(x1)=f(x2•)=f(x2)+f(), 则f()=f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(0,+∞)为单调减函数; (3)由(1)知f(1)=0, 由(2)知,f(x)在(0,+∞)为单调减函数; ∴0<x<1时,f(x)>f(1)=0, (4)∵f(xy)=f(x)+f(y),且f()=2 ∴f(x)+f(2-x)<2化为:f[x(2-x)]<f(), ∵f(x)在(0,+∞)为单调减函数, ∴,解得0<x<1+, 故所求的解集为:(0,1+). |