已知函数f(x)对任意x,y∈R,满足条件f(x)+f(y)=2+f(x+y),且f(3)=5,(1)求f(1)+f(-1)的值;(2)若f(x)为R上的增函数
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)对任意x,y∈R,满足条件f(x)+f(y)=2+f(x+y),且f(3)=5, (1)求f(1)+f(-1)的值; (2)若f(x)为R上的增函数,证明:存在唯一的实数,使得对任意x∈(0,1),都有f(x2+2t2x)<3成立. |
答案
(1)∵f(x)对任意x,y∈R,满足条件f(x)+f(y)=2+f(x+y),且f(3)=5, ∴f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)-2=[f(1)+f(1)-2]+f(1)-2=3f(1)-4=5 解得f(1)=3. ∵f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)-2=f(2)+3-2=5, ∴f(2)=4. ∵f(2)=f[3+(-1)]=f(3)+f(-1)-2=5+f(-1)-2=4. ∴f(-1)=1. ∴f(1)+f(-1)=4. (2)证明:∵f(x)为R上的增函数,且对任意x∈(0,1),都有f(x2+2t2x)<3=f(1), ∴对任意x∈(0,1),都有x2+2t2x<1, 设y=x2+2t2x, 则y′=2x+2t2, ∵x∈(0,1),∴y′=2x+2t2>0, ∴y=x2+2t2x在(0,1)内是增函数, ∴y=x2+2t2x的值域为(0,1+2t2), ∵对任意x∈(0,1),都有x2+2t2x<1, ∴1+2t2≤1,解得t=0. ∴存在唯一的实数t=0,使得对任意x∈(0,1),都有f(x2+2t2x)<3成立. |
举一反三
已知f(x)=ln(x2+1),g(x)=()x-m,若∀x1∈[0,3],∃x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是( )A.[,+∞) | B.(-∞,] | C.[,+∞) | D.(-∞,-] |
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已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x+4)+f(x)=2f(2),y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,且f(3)=5,则f(2013)=( ) |
设函数f(x)=sin3x+acos3x(a∈R)满足f(-x)=f(+x),则a的值是( ) |
定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)+f(1-x)=1,f()=f(x),且当0≤x1<x2≤1时,有f(x1)≤f(x2),则f()的值为( ) |
下列函数中,既是偶函数,又是在区间(0,+∞)上单调递减的函数是( )A.y=lnx | B.y=x2 | C.y=cosx | D.y=2-|x| |
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