定义在R上的函数y=f（x），对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．（1）求f（0）的值；（2）求当x＜0时
题型：解答题难度：一般来源：不详
定义在R上的函数y=f（x），对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．
（1）求f（0）的值；
（2）求当x＜0时，f（x）的取值范围；
（3）判断f（x）在R上的单调性，并证明你的结论． |
答案
（1）令m=0，n＞0，则有f（n）=f（0+n）=f（0）•f（n）
又由已知，n＞0时，0＜f（n）＜1，
∴f （0）=1
（2）设x＜0，则-x＞0f（0）=f[x+（-x）]=f（x）•f（-x）=1
则 f(x)=，
又∵-x＞0，
∴0＜f（-x）＜1，
∴f（x）∈（1，+∞）
（3）f（x）在R上的单调递减
证明：设x1、x2∈R，且x1＜x2
又x1=（x1-x2）+x2，由已知f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）•f（x2）
∴=f(x1-x2)…（16分），
∵x1＜x2，∴x1-x2＜0，由（2）得f（x1-x2）＞1
∴＞1，又由（1）、（2），f(x1)、f(x2)∈R+，
∴f（x1）＞f（x2）
∴f（x）在R上的单调递减 |
举一反三
| 四个函数y=x-1，y=x，y=x2，y=x3中，在区间（0，+∞）上为减函数的是（ ） |
| 已知：f（x）是R上的奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=x+2，则f（7）=（ ） |
| 已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g（-1）=______． |
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