已知函数f(x)对任意的实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且当x>0时,f(x)>1.(1)求证:函数f(x)在R上是增函数;(2)若关于x的
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)对任意的实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且当x>0时,f(x)>1. (1)求证:函数f(x)在R上是增函数; (2)若关于x的不等式f(x2-ax+5a)<2的解集为{x|-3<x<2},求f(2009)的值; (3)在(2)的条件下,设an=|f(n)-14|(n∈N*),若数列{an}从第k项开始的连续20项之和等于102,求k的值. |
答案
(1)证明:设x1>x2,则x1-x2>0,从而f(x1-x2)>1,即f(x1-x2)-1>0.(2分) f(x1)=f[x2+(x1-x2)]=f(x2)+f(x1-x2)-1>f(x2), 故f(x)在R上是增函数.(4分) (2)设2=f(b),于是不等式为f(x_-ax+5a)<f(b). 则x_-ax+5a<b,即x_-ax+5a-b<0.(6分) ∵不等式f(x2-ax+5a)<2的解集为{x|-3<x<2}, ∴方程x2-ax+5a-b=0的两根为-3和2, 于是,解得 ∴f(1)=2.(8分) 在已知等式中令x=n,y=1,得f(n+1)-f(n)=1. 所以{f(n)}是首项为2,公差为1的等差数列. f(n)=2+(n-1)×1=n+1,故f(2009)=2010.(10分) (3)ak=|f(k)-14|=|(k+1)-14|=|k-13|. 设从第k项开始的连续20项之和为Tk,则Tk=ak+ak+1+…+ak+19. 当k≥13时,ak=|k-13|=k-13,Tk≥T13=0+1+2+3+…+19=190>102.(11分) 当k<13时,ak=|k-13|=13-k. Tk=(13-k)+(12一k)+…+1+0+1+…+(k+6)=k2一7k+112. 令k2-7k+112=102,解得k=2或k=5.(14分) (注:当k≥13时,ak=|k一13|=k一13,令Tk=20(k-13)+×1=102,无正整数解.得11分) |
举一反三
设函数f (x)=ax2+bx+c对任意实数t都有f (2+t)=f (2-t)成立,在函数值f(-1),f(1),f(2),f(5)中的最小的一个不可能是 ______. |
已知汽车从刹车到停车所滑行的距离s(m)与速度v(m/s)的平方及汽车的总重量t(t)的乘积成正比.设某辆卡车不装货物以50m/s行驶时,从刹车到停车滑行了20m.如果这辆车装载着与车身相等重量的货物行驶,并与前面的车辆距离为15m(假设卡车司机从发现前面车辆停车到自己刹车需耽搁1s),为了保证前面车辆紧急停车时不与前面车辆撞车,最大限制速度是多少? |
实数x,y满足x≥0,y≥0且x+2y=1,则2x+3y2的最小值为______. |
设函数f(x)=2x2+3ax+2a(x,a∈R)的最小值为M(a),当M(a)取最大值时a的值为( ) |
函数y=f(x+1)的反函数是y=f-1(x+1),并且f(1)=3997,则f(2012)=______. |
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