(1)∵定义域内任意x、y恒有f(xy)=f(x)+f(y), 令x=y=1, ∴f(1)=2f(1), ∴f(1)=0;(2分) 证明:(2)任取0<x1<x2,则>1,则题意得f()>0 又定义域内任意x、y恒有f(xy)=f(x)+f(y),∴f(xy)-f(y)=f(x), ∴f(x2)-f(x1)=f()>0 ∴f(x2)>f(x1) ∴函数f(x)在其定义域内为增函数,由(1)和f(1)=0, 所以1为方程f(x)=0的一个实根,若还存在一个x0,且x0>0,使得f(x0)=0, 因为函数f(x)在其定义域内为增函数,必有x0=1,故方程f(x)=0有且仅有一个实根;(8分) (3)由(2)知函数f(x)在其定义域内为增函数 当x∈[1,+∞)时,不等式f()>0=f(1)恒成立,即>1恒成立 即x2+2x+a>x,即a>-x2-x在x∈[1,+∞)时恒成立 ∵-x2-x在x∈[1,+∞)时最大值为-2 ∴a>-2(14分) |