设函数f（x）=-4x+b，关于x的不等式|f（x）|＜c的解集为（-1，2）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断函数g(x)=4xf(x)(x＞12)的

题型：解答题难度：一般来源：不详

设函数f（x）=-4x+b，关于x的不等式|f（x）|＜c的解集为（-1，2）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数g(x)=

4x

f(x)

(x＞

1

2

)的单调性，并用定义证明．

答案

（1）由|f（x）|＜c得|4x-b|＜c，所以

b-c

4

＜x＜

b+c

4

，
又关于x的不等式|f（x）|＜c的解集为（-1，2），
所以，

b-c

4

=-1，

b+c

4

=2，解得b=2，c=6，
所以，f（x）=-4x+2．
（2）g(x)=

4x

-4x+2

(x＞

1

2

)，g（x）在(

1

2

，+∞)上单调递增．
证：g(x)=

4x

-4x+2

=-1+

-1

2x-1

．
设x₁，x₂为区间(

1

2

，+∞)内的任意两个值，且x₁＜x₂，f(x1)-f(x2)=

2(x1-x2)

(2x1-1)(2x1-1)

，
因为x1＞

1

2

，x2＞

1

2

，且x₁＜x₂，
所以2x₁-1＞0，2x₂-1＞0，且2（x₁-x₂）＜0，
所以 f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）．
故g（x）在(

1

2

，+∞)上单调递增．