已知g（x）=x2+1，f（x）是二次函数，且f（x）+g（x）为奇函数，当x∈[-1，2]时，f（x）的最大值为12，求f（x）的表达式．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知g（x）=x²+1，f（x）是二次函数，且f（x）+g（x）为奇函数，当x∈[-1，2]时，f（x）的最大值为

，求f（x）的表达式．

答案

设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），则F（x）=f（x）+g（x）=（a+1）x²+bx+c+1为奇函数，
∴F（0）=0，且F（1）=-F（-1），∴a=-1，c=-1，得到f（x）=-x²+bx-1，
∵当x∈[-1，2]时，f（x）的最大值为

，∴

＜-1

f(-1)=

或

-1≤

≤2

或

＞2

f(2)=

解得b=-

，b=

所以f(x)=-x2-

x-1或f(x)=-x2+

x-1

举一反三

已知函数f（x）=x-

+ln

1-x

1+x

（1）求f（2009）+f（-2009）的值；
（2）当x∈（0，a]（其中a∈（0，1），且a为常数）时，f（x）是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

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函数f（x）（x∈R⁺）满足下列条件：①f（a）=1（a＞1）②f（x^m）=mf（x）．
（1）求证：f（xy）=f（x）+f（y）；
（2）证明：f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（3）若不等式f（x）+f（3-x）≤2恒成立，求实数a的取值范围．

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定义在[-2，2]上的偶函数f（x）在区间[0，2]上是减函数，且f（1-m）＜f（m），则m∈______．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

已知f（x）=a^x+a^-x（a＞0且a≠1），
（1）证明函数f （ x ）的图象关于y轴对称；
（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明；
（3）当x∈[1，2]时函数f （x ）的最大值为

，求此时a的值．

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设函数f(x)=a-

2x+1

．
（1）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明你的结论；
（2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数，写出理由．

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