已知函数f(x)=xm-2x,且f(2)=1.(1)求m的值;(2)判定f(x)的奇偶性,并说明理由;(3)判断f(x)在(-∞,0)上的单调性并给予证明.

已知函数f(x)=xm-2x,且f(2)=1.(1)求m的值;(2)判定f(x)的奇偶性,并说明理由;(3)判断f(x)在(-∞,0)上的单调性并给予证明.

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=xm-
2
x
,且f(2)=1.
(1)求m的值;
(2)判定f(x)的奇偶性,并说明理由;
(3)判断f(x)在(-∞,0)上的单调性并给予证明.
答案
(1)因为f(2)=1,即2m-
2
2
=1
,解得m=1.
(2)函数f(x)为奇函数.
函数f(x)=x-
2
x
的定义域为{x|x≠0},关于原点对称.
又因为f(-x)=-x-
2
-x
=-(x-
2
x
)=-f(x)

所以f(x)是奇函数.
(3)设x1<x2<0,
f(x1)-f(x2)=x1-
2
x1
-(x2-
2
x2
)
=x1-x2-(
2
x1
-
2
x2
)=(x1-x2)(1+
2
x1x2
)

因为x1<x2<0,所以x1-x2<0,1+
2
x1x2
>0

所以f(x1)<f(x2),
因此f(x)在(-∞,0)上为单调增函数.
举一反三
设函数f(x)=
ax2+1
bx+c
是奇函数,其中a,b,c∈N,f(1)=2,f(2)<3.
(Ⅰ)求a,b,c的值;
(Ⅱ)判断并证明f(x)在(-∞,-1]上的单调性.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知定义在集合A上的两个函数f(x)=x2+1,g(x)=4x+1.
(1)若A={x|0≤x≤4},x∈R,分别求函数f(x),g(x)的值域;
(2)若对于集合A中的任意一个z,都有f(x)=g(x),求集合A
题型:解答题难度:一般| 查看答案
若函数y=|2x+c|是区间(-∞,1]上的单调函数,则实数c的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
函数y=x2+


x2-1
的最小值为(  )
A.0B.
3
4
C.1D.
3
2
题型:单选题难度:一般| 查看答案
若函数f(x)=
1
2+log2x
,则该函数在(1,+∞)上(  )
A.单调递减,无最小值B.单调递减,有最小值
C.单调递增,无最大值D.单调递增,有最大值
题型:单选题难度:简单| 查看答案
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