对于区间[a,b](a<b),若函数y=f(x)同时满足:①f(x)在[a,b]上是单调函数;②函数y=f(x),x∈[a,b]的值域是[a,b],则称区间[a
题型:解答题难度:一般来源:不详
对于区间[a,b](a<b),若函数y=f(x)同时满足:①f(x)在[a,b]上是单调函数;②函数y=f(x),x∈[a,b]的值域是[a,b],则称区间[a,b]为函数f(x)的“保值”区间. (1)求函数y=x2的所有“保值”区间; (2)函数y=x2+m(m≠0)是否存在“保值”区间?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由. |
答案
(1)因为函数y=x2的值域是[0,+∞),且y=x2在[a,b]的值域是[a,b], 所以[a,b]⊆[0,+∞),所以a≥0,从而函数y=x2在区间[a,b]上单调递增, 故有解得 又a<b,所以所以函数y=x2的“保值”区间为[0,1].…(3分) (2)若函数y=x2+m(m≠0)存在“保值”区间,则有: ①若a<b≤0,此时函数y=x2+m在区间[a,b]上单调递减, 所以 消去m得a2-b2=b-a,整理得(a-b)(a+b+1)=0. 因为a<b,所以a+b+1=0,即 a=-b-1.又所以 -<b≤0. 因为 m=-b2+a=-b2-b-1=-(b+)2-(-<b≤0),所以 -1≤m<-.…(6分) ②若b>a≥0,此时函数y=x2+m在区间[a,b]上单调递增, 所以 消去m得a2-b2=a-b,整理得(a-b)(a+b-1)=0. 因为a<b,所以 a+b-1=0,即 b=1-a.又所以 0≤a<. 因为 m=-a2+a=-(a-)2+(0≤a<),所以 0≤m<. 因为 m≠0,所以 0<m<.…(9分) 综合 ①、②得,函数y=x2+m(m≠0)存在“保值”区间,此时m的取值范围是[-1, -)∪(0, ).…(10分) |
举一反三
已知f(x)是定义在(0,+∞)上的单调递增函数,且满足f(3x-2)<f(1),则实数x的取值范围是( )A.(-∞,1) | B.(,1) | C.(,+∞) | D.(1,+∞) |
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函数f(x)=x-alnx+(a>0) (1)求f(x)的单调区间; (2)求使函数f(x)有零点的最小正整数a的值; (3)证明:ln(n!)-ln2>(n∈N*,n≥3). |
若函数f(x)=的图象关于原点对称,则f()=( ) |
对于函数①f(x)=4x+-5,②f(x)=|log2x|-()x,③f(x)=cos(x+2)-cosx, 判断如下两个命题的真假: 命题甲:f(x)在区间(1,2)上是增函数; 命题乙:f(x)在区间(0,+∞)上恰有两个零点x1,x2,且x1x2<1. 能使命题甲、乙均为真的函数的序号是( ) |
已知函数f(x)= | log2(1-x), x≤0 | f(x-1)+1, x>0 |
| | ,则f(2012)=( ) |
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