已知f(x)=2x2+ax,且f(1)=3,(1)试求a的值,并证明f(x)在[22,+∞)上单调递增.(2)设关于x的方程f(x)=x+b的两根为x1,x2,
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已知f(x)=2x2+ax,且f(1)=3,(1)试求a的值,并证明f(x)在[22,+∞)上单调递增.(2)设关于x的方程f(x)=x+b的两根为x1,x2,
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知f(x)=
2
x
2
+a
x
,且f(1)=3,
(1)试求a的值,并证明f(x)在[
2
2
,+∞)上单调递增.
(2)设关于x的方程f(x)=x+b的两根为x
1
,x
2
,试问是否存在实数m,使得不等式m
2
+tm+1≥|x
1
-x
2
|对任意的b∈[2,
13
]及t∈[-1,1]恒成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在说明理由.
答案
(1)∵f(1)=3,∴a=1,∴f(x)=
2
x
2
+1
x
,设
2
2
≤x
1
<x
2
,
∴f(x
2
)-f(x
1
)=2x
2
+
1
x
2
-(2x
1
+
1
x
1
)=2(x
2
-x
1
)+
x
1
-
x
2
x
1
x
2
=(x
2
-x
1
)(2-
1
x
1
x
2
),
∵x
2
>x
1
≥
2
2
,∴x
1
x
2
≥x
1
2
≥
1
2
,∴0<
1
x
1
x
2
<2,
∴2-
1
x
1
x
2
>0又x
2
-x
1
>0,∴f(x
2
)-f(x
1
)>0,∴f(x
2
)>f(x
1
),
∴f(x)在
[
2
2
,+∞)上单调递增.
(2)∵f(x)=x+b,∴x
2
-bx+1=0,∴|x
1
-x
2
|=
(
x
1
+
x
2
)
2
-4
x
1
x
2
=
b
2
-4
又2≤b≤
13
,∴0≤|x
1
-x
2
|≤3,故只须当t∈[-1,1],使m
2
+mt+1≥3恒成立,记g(t)=tm+m
2
-2,只须:
g(-1)≥0
g(1)≥0
,∴
m
2
-m-2≥0
m
2
+m-2≥0
,∴
m≥2,m≤-1
m≥1,m≤-2
,∴m≥2或m≤-2,故m的取值集合是{m|m≥2或m≤-2}.
举一反三
函数f(n)=k(其中n∈N
*
),k是
2
的小数点后第n位数,
2
=1.41421356237…
,则f{f[f(8)]}的值等于( )
A.1
B.2
C.4
D.6
题型:单选题
难度:简单
|
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对于区间[a,b](a<b),若函数y=f(x)同时满足:①f(x)在[a,b]上是单调函数;②函数y=f(x),x∈[a,b]的值域是[a,b],则称区间[a,b]为函数f(x)的“保值”区间.
(1)求函数y=x
2
的所有“保值”区间;
(2)函数y=x
2
+m(m≠0)是否存在“保值”区间?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知f(x)是定义在(0,+∞)上的单调递增函数,且满足f(3x-2)<f(1),则实数x的取值范围是( )
A.(-∞,1)
B.
(
2
3
,1)
C.
(
2
3
,+∞)
D.(1,+∞)
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
函数f(x)=x-alnx+
a+1
x
(a>0)
(1)求f(x)的单调区间;
(2)求使函数f(x)有零点的最小正整数a的值;
(3)证明:ln(n!)-ln2>
6
n
3
-
n
2
-19n-6
12n(n+1)
(n∈N
*
,n≥3).
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
若函数
f(x)=
|x-2|+a
4-
x
2
的图象关于原点对称,则f(
a
2
)=( )
A.
3
3
B.-
3
3
C.1
D.一1
题型:单选题
难度:一般
|
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