设函数f（x）=|2x+1|-|x-4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x-4|＞m对一切实数x均成立，求m的取值范围．
题型：解答题难度：一般来源：不详
设函数f（x）=|2x+1|-|x-4|．
（1）解不等式f（x）＞0；
（2）若f（x）+3|x-4|＞m对一切实数x均成立，求m的取值范围． |
答案
（1）当x≥4时f（x）=2x+1-（x-4）=x+5＞0得 x＞-5，所以，x≥4时，不等式成立．
当-≤x＜4时，f（x）=2x+1+x-4=3x-3＞0，得x＞1，所以，1＜x＜4时，不等式成立．
当x＜-时，f（x）=-x-5＞0，得x＜-5，所以，x＜-5成立
综上，原不等式的解集为：{x|x＞1或x＜-5}．
（2）f（x）+3|x-4|=|2x+1|+2|x-4|≥|2x+1-（2x-8）|=9，当x≥4或x≤-时等号成立，
所以，f（x）+3|x-4|的最小值为9，故 m＜9． |
举一反三
函数y=()的单调递减区间为（ ）| A．[，+∞） | B．[，+∞） | C．（-∞，0] | D．（-∞，-] |
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| 已知函数f（x）=-x3+ax2-4在x=2处取得极值，若m、n∈[-1，1]，则f（m）+f′（n）的最小值为（ ） |
已知f（x）=，且f（1）=3，
（1）试求a的值，并证明f（x）在[，+∞）上单调递增．
（2）设关于x的方程f（x）=x+b的两根为x1，x2，试问是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意的b∈[2，]及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在说明理由． |
| 函数f（n）=k（其中n∈N*），k是的小数点后第n位数，=1.41421356237…，则f{f[f（8）]}的值等于（ ） |
对于区间[a，b]（a＜b），若函数y=f（x）同时满足：①f（x）在[a，b]上是单调函数；②函数y=f（x），x∈[a，b]的值域是[a，b]，则称区间[a，b]为函数f（x）的“保值”区间．
（1）求函数y=x2的所有“保值”区间；
（2）函数y=x2+m（m≠0）是否存在“保值”区间？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． |
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