已知f(x)为定义在[-1,1]上的奇函数,当x∈[-1,0]时,函数解析式是f(x)=14x-a2x(a∈R)(1)求f(x)在[-1,1]上的解析表达式;(
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已知f(x)为定义在[-1,1]上的奇函数,当x∈[-1,0]时,函数解析式是f(x)=14x-a2x(a∈R)(1)求f(x)在[-1,1]上的解析表达式;(
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知f(x)为定义在[-1,1]上的奇函数,当x∈[-1,0]时,函数解析式是
f(x)=
1
4
x
-
a
2
x
(a∈R)
(1)求f(x)在[-1,1]上的解析表达式;
(2)求f(x)在[-1,0]上的值域.
答案
(1)由奇函数的定义和性质可得,f(0)=0,即 1-a=0,a=1,
故当x∈[-1,0]时,函数解析式是
f(x)=
1
4
x
-
a
2
x
(a∈R)
=
1
4
x
-
1
2
x
.
设x∈[0,1],则-x∈[-1,0],由题意可得 f(-x)=
1
4
-x
-
1
2
-x
=4
x
-2
x
=-f(x),
∴f(x)=2
x
-4
x
.
综上可得,f(x)=
1
4
x
-
1
2
x
,-1≤x≤0
2
x
-
4
x
, 0≤x≤1
.
(2)当x∈[0,1]时,设t=2
x
,则 1≤t≤2,f(x)=-4
x
+2
x
=-t
2
+t=-
(t-
1
2
)
2
+
1
4
,
故当t=1时,f(x)取得最大值为 0,当t=2时,函数f(x)取得最小值为-2,
故此时函数的值域为[-2,0].
再由奇函数的图象关于原点对称可得,可得当x∈[-1,0]时,函数的值域为[0,2].
综上可得,函数在[-1,1]上的值域为[-2,2].
举一反三
已知函数f(x)=x
2
+2(a-1)x+2在[4,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知函数f(x)在定义域[-2,2]内递减,求满足f(1-m)+f(1-m
2
)<0的实数m的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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函数y=2
-cosx
的单调递减区间是( )
A.[kπ+π,kπ+2π](k∈Z)
B.[2kπ-π,2kπ](k∈Z)
C.[2kπ,2kπ+
π
2
](k∈Z)
D.[2kπ,2kπ+π](k∈Z)
题型:单选题
难度:简单
|
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已知函数
f(x)=
a
x
(x<0)
(a-3)x+4a(x≥0)
为减函数,则a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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对于函数y=f(x),若同时满足下列条件:
①函数y=f(x)在定义域D内是单调递增或单调递减函数;
②存在区间[a,b]⊆3D,使函数f(x)在[a,b]上的值域为[a,b],则称f(x)是D上的闭函数.
(1)求闭函数f(x)=-x
3
符合条件②的区间[a,b];
(2)判断函数g(x)=
3
4
x+
1
x
,在区间(0,+∞)上是否为闭函数;
(3)若函数φ(x)=k+
x+2
是闭函数,求实数k的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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