(1)∵y=-x3是[a,b]上的减函数, ∴ ∴==()3. ∴()4=1,∴=±1 又∵-a3=b,∴. ∴所求区间为[-1,1]. (2)∵g′(x)=-,x∈(0,+∞), 令g′(x)=->0,得x>, ∴x>时,g(x)为(,+∞)上的增函数. 令g′(x)=-<0,得0<x< ∴g(x)为(0,)上的减函数. ∴g(x)不是(0,+∞)上的单调函数. ∴g(x)不是(0,+∞)上的闭函数. (3)易知φ(x)是[-2,+∞]上的增函数. 设φ(x)=k+满足条件②的区间是[a,b], ∴ 即a,b是方程x=k+的两个不等实根. 也就是方程组 | x2-(2k+1)x+(k2-2)=0 | x≥-2 | x≥k |
| | 有两个不等实根a,b. ①当k≤-2时,方程x2-(2k+1)+(k2-2)=0在[-2,+∞)上有两个不等实根. ∴ | >-2 | △=(2k+1)2-4(k2-2)>0 | (-2)2-(2k+1)(-2)+(k2-2)≥0. |
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解得:-<k≤-2. ②当k>-2时,方程x2-(2k+1)x+(k2-2)=0在[k,+∞)上有两个不等实根. ∴ | >k | △=(2k+1)2-4(k2-2)>0 | k2-(2k+1)k+(k2-2)≥0. |
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解得:-<k≤-2,与条件k>-2矛盾. ∴φ(x)=k+是闭函数,实数k的取值范围是-<k≤-2. |