已知f(x)=(x-1x+1)2(x≥1)（Ⅰ）求f（x）的反函数f-1（x）；（Ⅱ）设g(x)=1f-1(x)+x+2，求g（x）的最小值及相应的x值．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知f(x)=(

x-1

x+1

)2(x≥1)
（Ⅰ）求f（x）的反函数f^-1（x）；
（Ⅱ）设g(x)=

1

f-1(x)

+

x

+2，求g（x）的最小值及相应的x值．

答案

（I）f(x)=(

x-1

x+1

)2即y=(1-

2

x+1

)2
∵x≥1
∴0≤y＜1

x-1

x+1

=

y

∴x=

1+ y

1- y

∴f-1(x)=

1+ x

1- x

(0≤x＜1)
（II）g(x)=

1- x

1+ x

+

x

+2(0≤x＜1)=

(1+ x )2+2

1+ x

=(1+

x

)+

2

1+ x

≥2

2

当且仅当1+

x

=

2

1+ x

，即x=3-2

2

∈[0， 1)时取等号．
∴当x=3-2

2

 时，g(x)min=2

2

．