设关于x的函数f(x)=-cos2x-2msinx+m2+2m的最小值是m的函数,记为g(m).(1)求g(m)的解析表达式;(2)当g(m)=5时,求m的值;
题型:解答题难度:一般来源:不详
设关于x的函数f(x)=-cos2x-2msinx+m2+2m的最小值是m的函数,记为g(m). (1)求g(m)的解析表达式; (2)当g(m)=5时,求m的值; (3)如果方程f(x)=0在x∈(0,π)有两不相等的解,求实数m的取值范围. |
答案
(1)f(x)=sin2x-2msinx+m2+2m-1, 令t=sinx,则t∈[-1,1], 则函数可变为h(t)=t2-2mt+m2+2m-1=(t-m)2+2m-1, 图象开口向上,对称轴为t=m, ①当m<-1时,g(m)=h(-1)=m2+4m; ②当-1≤m≤1时,g(m)=h(m)=2m-1; ③当m>1时,g(m)=h(1)=m2. 所以g(m)= | m2+4m,m<-1 | 2m-1,-1≤m≤1 | m2,m>1 |
| | . (2)当g(m)=5时, 若m<-1,有m2+4m=5,解得m=-5或m=1(舍); 若-1≤m≤1,有2m-1=5,解得m=3(舍); 若m>1,有m2=5,解得m=或-(舍); 综上知,m=-5或m=. (3)方程f(x)=0在x∈(0,π)有两不相等的解,由(1)知:等价于h(t)=t2-2mt+m2+2m-1=0在t∈(0,1)上有一解, 则或h(0)•h(1)<0,即m=或(m2+2m-1)m2<0,所以m=或-1-<m<-1+,且m≠0, 所以m的取值范围为:m=或m∈(-1-,0)∪(0,-1+). |
举一反三
设函数f(x)=,则f(x)的值域为______. |
已知函数f(x)=,则f(-1)=______,f(a2+1)=______.(a≥0) |
某公司一年购买某种货物900吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,则一年的总运费与总存储费用之和的最小值为______万元. |
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