设函数f(x)=31-x-1,函数g(x)=ax2+5x-2a.(1)求f(x)在[0,1]上的值域;(2)若对于任意x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],

设函数f(x)=31-x-1,函数g(x)=ax2+5x-2a.(1)求f(x)在[0,1]上的值域;(2)若对于任意x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],

题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数f(x)=31-x-1,函数g(x)=ax2+5x-2a.
(1)求f(x)在[0,1]上的值域;
(2)若对于任意x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使得g(x2)=f(x1)成立,求a的取值范围.
答案
(1)∵f(x)在[0,1]上单调递减,
∴f(x)min=f(1)=0,f(x)max=f(0)=2,
∴f(x)在[0,1]上的值域[0,2]…..(4分)
(2)f(x)在[0,1]上的值域[0,2],函数g(x)在[0,1]上的值域D,则[0,2]⊆D.
①a=0,g(x)=5x,值域[0,5],符合条件; …(6分)
②a>0,对称轴x=-
5
2a
<0
,∴函数g(x)在[0,1]上单调递增,g(x)max=g(1)=5-a
由5-a≥2,∴a≤3,∴0<a≤3    …..(8分)
③a<0,对称轴x=-
5
2a
>0

0<-
5
2a
< 1
a<-
5
2
时,最小值在x=0或x=1处取,不合题意
-
5
2a
≥1
-
5
2
≤a<0
时,函数g(x)在[0,1]上单调递增,不合题意….(12分)
综上,a∈[0,3]…(13分)
举一反三
已知函数f(x)=a-
2x
4x+1
(a∈R).
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)判断并证明函数f(x)在(0,+∞)上的单调性.
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已知f(
1
x
)=
1
x+1
,则f(2)=______.
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(实)若函数f(x)=


3-ax
a-1
在区间(0,1]上是减函数,则实数a的取值范围是______.
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已知奇函数f(x)=
x+b
x2+a
的定义域为R,f(1)=
1
2

(1)求实数a,b的值;
(2)证明函数f(x)在区间(-1,1)上为增函数;
(3)若g(x)=3-x-f(x),证明函数g(x)在(-1,1)上有零点.
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已知f(x)是R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=


x

(1)求当x<0时,f(x)的表达式
(2)判断f(x)在区间(0,+∞)的单调性,并用定义加以证明.
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