已知函数f(x)=x+ax有如下性质:如果常数a>0,那么该函数在(0,a]上是减函数,在[a,+∞)上是增函数.(1)如果函数y=x+2bx(x>0)在(0,
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已知函数f(x)=x+ax有如下性质:如果常数a>0,那么该函数在(0,a]上是减函数,在[a,+∞)上是增函数.(1)如果函数y=x+2bx(x>0)在(0,
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)=x+
a
x
有如下性质:如果常数a>0,那么该函数在(0,
a
]上是减函数,在[
a
,+∞)上是增函数.
(1)如果函数y=x+
2
b
x
(x>0)在(0,4]上是减函数,在[4,+∞)是增函数,求b的值;
(2)证明:函数f(x)=x+
a
x
(常数a>0)在(0,
a
]上是减函数;
(3)设常数c∈(1,9),求函数f(x)=x+
c
x
在x∈[1,3]上的最小值和最大值.
答案
(1)∵函数f(x)=x+
a
x
在(0,
a
]上是减函数,在[
a
,+∞)上是增函数
且函数y=x+
2
b
x
(x>0)在(0,4]上是减函数,在[4,+∞)是增函数,
故
2
b
=4
解得b=4
证明:(2)∵函数f(x)=x+
a
x
(常数a>0)
∴f(x)=1-
a
x
2
,
当x∈(0,
a
]时,x
2
≤a
即
a
x
2
≥1,
此时f(x)=1-
a
x
2
≤0恒成立
故函数f(x)=x+
a
x
(常数a>0)在(0,
a
]上是减函数
(3)当c∈(1,9)时,
c
∈(1,3)
故当x=
c
时,函数取最小值2
c
而f(1)-f(3)=
2(c-3)
3
故当1<c≤3时,函数的最大值是f(3)=3+
c
3
当3<c<9时,函数的最大值是f(1)=1+c
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难度:简单
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2
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2cos
π
3
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x-12,x>2000
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=______.
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f(x)=
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a
x
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2
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