定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a,b∈R,有f(a+b)=f(a)•f(b),(1)求f(0)的值;(2)求证
题型:解答题难度:一般来源:不详
定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a,b∈R,有f(a+b)=f(a)•f(b), (1)求f(0)的值; (2)求证:对任意的x∈R,恒有f(x)>0; (3)判断f(x)的单调性,并证明你的结论. |
答案
(1)因为对任意的a,b∈R,有f(a+b)=f(a)•f(b),所以令a=b=0,则有f(0)=f(0)•f(0),又f(0)≠0,所以f(0)=1. (2)证明:当x>0时,f(x)>1,当x=0时,f(0)=1,所以只需证明当x<0时,f(x)>0即可. 当x<0时,-x>0,f(0)=f(x)•f(-x),因为f(-x)>1,所以0<f(x)<1, 故对任意的x∈R,恒有f(x)>0; (3)是增函数,证明如下 设x1<x2,则x2-x1>0, f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)=f(x2-x1)f(x1)-f(x1)=[f(x2-x1)-1]f(x1), 由题意知f(x2-x1)>1,f(x1)>0,所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1). 所以f(x)在R上为增函数. |
举一反三
已知函数f(x)=log2(-1), (1)判断函数y=f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若实数m满足f(2m-1)>f(1-m),求m 取值范围. |
已知函数f(x)=4x-a•2x+1+9,x∈[0,2], (1)当a=4,证明:函数y=f(x)是[0,2]上的单调递减函数; (2)若函数y=f(x)是[0,2]上的单调函数,求a取值范围; (3)若f(x)≥0在[0,2]上恒成立,求a取值范围. |
下列函数中,既是偶函数,又在区间(-∞,0)上单调递增的是( )A.f(x)=2x | B.f(x)=- | C.f(x)=x2+1 | D.f(x)=-x2+1 |
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函数y=loga[(x-1)2-a]在[3,4]上单调递增,则实数a的取值范围是( )A.(,1) | B.(,1) | C.(1,3) | D.(1,4) |
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