已知函数f(x)=4x-a•2x+1+9,x∈[0,2],(1)当a=4,证明:函数y=f(x)是[0,2]上的单调递减函数;(2)若函数y=f(x)是[0,2
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=4x-a•2x+1+9,x∈[0,2], (1)当a=4,证明:函数y=f(x)是[0,2]上的单调递减函数; (2)若函数y=f(x)是[0,2]上的单调函数,求a取值范围; (3)若f(x)≥0在[0,2]上恒成立,求a取值范围. |
答案
(1)a=4时,f(x)=4x-4•2x+1+9=4x-8•2x+9,x∈[0,2], 设t=2x,得t∈[1,4], f(x)=g(t)=t2-8t+9=(t-4)2-7 ∵t=2x在区间[0,2]上是增函数,且g(t)=(t-4)2-7在区间[1,4]上是减函数, ∴f(x)=4x-4•2x+1+9在区间[0,2]上是单调递减函数; (2)令t=2x,得t∈[1,4],f(x)=g(t)=t2-2at+9, ∵t=2x在[0,2]上是增函数,且g(t)=t2-2at+9在(-∞,a]或[a,+∞)上是单调函数 ∴区间[1,4]是(-∞,a]的子集,或[1,4]是[a,+∞)的子集 由此可得a≥4或a≤1,即a的取值范围为(-∞,1]∪[4,+∞); (3)由(2)可得 ①当a≤1时,f(x)在区间[0,2]上是增函数, ∴f(x)≥0在[0,2]上恒成立,即f(0)≥0,解之得a≤5 综合可得:a≤1; ②当a≥4时,f(x)在区间[0,2]上是减函数, ∴f(x)≥0在[0,2]上恒成立,即f(2)≥0,解之得a≤ 综合可得找不出实数a的取值; ③当1<a<4时,f(x)在区间[0,2]上先减后增, ∴f(x)≥0在[0,2]上恒成立,即f(log2a)≥0,解之得-3≤a≤3 综合可得:1<a≤3 综上所述,若f(x)≥0在[0,2]上恒成立,实数a的取值范围为(-∞,3]. |
举一反三
下列函数中,既是偶函数,又在区间(-∞,0)上单调递增的是( )A.f(x)=2x | B.f(x)=- | C.f(x)=x2+1 | D.f(x)=-x2+1 |
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函数y=loga[(x-1)2-a]在[3,4]上单调递增,则实数a的取值范围是( )A.(,1) | B.(,1) | C.(1,3) | D.(1,4) |
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已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,4),则f(-3)=______. |
设f(log2x)=2x(x>0),则f(3)的值是( ) |
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