已知函数f(x)=ax-1-lnx(a∈R).(1)若函数f(x)在x=1处取得极值,对∀x∈(0,+∞),f(x)≥bx-2恒成立,求实数b的取值范围;(2)
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已知函数f(x)=ax-1-lnx(a∈R).(1)若函数f(x)在x=1处取得极值,对∀x∈(0,+∞),f(x)≥bx-2恒成立,求实数b的取值范围;(2)
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)=ax-1-lnx(a∈R).
(1)若函数f(x)在x=1处取得极值,对∀x∈(0,+∞),f(x)≥bx-2恒成立,求实数b的取值范围;
(2)当0<x<y<e
2
且x≠e时,试比较
y
x
与
1-lny
1-lnx
的大小.
答案
(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞).f′(x)=a-
1
x
.
∵函数在x=
1
a
处取得极值,∴a=1,
f(x)=x-1-lnx,
∵f(x)≥bx-2,移项(1-b)x>lnx-1,将b分离得出,b<1-
lnx-1
x
,令g(x)=1-
lnx-1
x
,
则令g′(x)=
lnx-2
x
2
,可知在(0,e
2
)上g′(x)<0,在(e
2
,+∞)上g′(x)>0,
∴g(x)在x=e
2
处取得极小值,也就是最小值.此时g(e
2
)=1-
1
e
2
,
所以b≤1-
1
e
2
.
(1)由(1)g(x)=1-
lnx-1
x
在(0,e
2
)上为减函数.0<x<y<e
2
且x≠e时,
有g(x)>g(y),1-
lnx-1
x
>1-
lny-1
y
,整理得
1-lnx
x
>
1-lny
y
①
当0<x<e时,1-lnx>0,由①得,
y
x
>
1-lny
1-lnx
当e<x<e
2
时,1-lnx<0,由①得
y
x
<
1-lny
1-lnx
.
举一反三
已知函数f (x)=e
x
,g(x)=lnx,h(x)=kx+b.
(1)当b=0时,若对∀x∈(0,+∞)均有f (x)≥h(x)≥g(x)成立,求实数k的取值范围;
(2)设h(x)的图象为函数f (x)和g(x)图象的公共切线,切点分别为(x
1
,f (x
1
))和(x
2
,g(x
2
)),其中x
1
>0.
①求证:x
1
>1>x
2
;
②若当x≥x
1
时,关于x的不等式ax
2
-x+xe
-x
+1≤0恒成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知a>1,函数f(x)=log
a
(x
2
-ax+2)在x∈[2,+∞)时的值恒为正.
(1)a的取值范围;
(2)记(1)中a的取值范围为集合A,函数g(x)=log
2
(tx
2
+2x-2)的定义域为集合B.若A∩B≠∅,求实数t的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=2
x
+2
ax+b
,且f(1)=
5
2
,f(2)=
17
4
.
(1)求a、b;
(2)判断f(x)的奇偶性;
(3)试判断函数在(-∞,0]上的单调性,并证明.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知x+x
-1
=3,则x
2
+x
-2
=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知集合A={x|x
2
+a≤(a+1)x,a∈R},∃a∈R,使得集合A中所有整数的元素和为28,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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