设函数f(x)=1-xax+lnx在[1,+∞)上为增函数.(1)求正实数a的取值范围;(2)若a=1,求证:12+13+14+…+1n<lnn<n+12+13

设函数f(x)=1-xax+lnx在[1,+∞)上为增函数.(1)求正实数a的取值范围;(2)若a=1,求证:12+13+14+…+1n<lnn<n+12+13

题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数f(x)=
1-x
ax
+lnx
在[1,+∞)上为增函数.
(1)求正实数a的取值范围;
(2)若a=1,求证:
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n
<lnn<n+
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n-1
(n∈N*且n≥2).
答案
(1)由已知:f"(x)=
ax-1
ax2
(a>0)

依题意得:
ax-1
ax2
≥0对x∈[1,+∞)恒成立.
∴ax-1≥0对x∈[1,+∞)恒成立,∴a-1≥0,即:a≥1.
故正实数a的取值范围为[1,+∞).
(2)∵a=1,∴由(1)知:f(x)=
1-x
x
+lnx
在[1,+∞)上为增函数,
∴n≥2时:f(
n
n-1
)=
1-
n
n-1
n
n-1
+ln
n
n-1
=ln
n
n-1
-
1
n
>f(1)=0

即:
1
n
<ln
n
n-1
…. (9分)
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n
<ln
2
1
+ln
3
2
+…+ln
n
n-1
=1nn

设g(x)=lnx-x,x∈[1,+∞),则g′(x)=
1
x
-1≤0
对x∈[1,+∞)恒成立,
∴g′(x)在[1+∞)为减函数.
∴n≥2时:g(
n
n-1
)=ln
n
n-1
-
n
n-1
<g(1)=-1<0,
 即:ln
n
n-1
n
n-1
=1+
1
n-1
 (n≥2).
∴lnn=ln
2
1
+ln
3
2
+ln
4
3
+…+ln
n
n-1
<(1+
1
n-1
)+(1+
1
n-2
)+…+(1+
1
1
)=n+
1
2
+
1
3
+…+
1
n-1

综上所证:
1
2
+
1
3
+…+
1
n
<lnn<n+
1
2
+
1
3
+…+
1
n-1
(n∈N*且≥2)成立.
举一反三
设函数f(x)的定义域为M,若函数f(x)满足:(1)f(x)在M内单调递增,(2)方程f(x)=x在M内有两个不等的实根,则称f(x)为递增闭函数,现在f(x)=k+2


x+1
是递增闭函数,则实数k的取值范围是(  )
A.(-2,+∞)B.(-∞,1]C.(-2,-1]D.(-2,1)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知非常数函数f(x)在上可导,当x∈(-∞,1]时,有(1-x)f"(x)≤0,且对任意x∈R都有f(1-x)=f(1+x),则不等式f(2-x)>f(2x+1)的解集是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
设函数f(x)=





cosπα,x>0
f(x+1)-1,x≤0
,则f(-
4
3
)
的值为(  )
A.-
3
2
B.


3
2
-2
C.-


3
2
-2
D.-
5
2
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=x2+px+q和g(x)=x+
4
x
都是定义在区间A=[1,
5
2
]上的函数.如果∀x∈A,∃x0∈A使得f(x)≥f(x0),g(x)≥g(x0),且f(x0)=g(x0),则y=f(x)在区间A上的最大值等于 ______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
规定记号“⊗”表示一种运算,即a⊗b=ab+a+b2(a,b为正实数),若1⊗k=2,则k=(  )
A.-2B.1C.-2或1D.2
题型:单选题难度:简单| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.