已知函数f(x)=lnx+mx(x>0)在(1,+∞)上为增函数,函数g(x)=lnx-mx(x>0)在(1,+∞)上为减函数.(1)分别求出函数f(x)和g(
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已知函数f(x)=lnx+mx(x>0)在(1,+∞)上为增函数,函数g(x)=lnx-mx(x>0)在(1,+∞)上为减函数.(1)分别求出函数f(x)和g(
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=lnx+
m
x
(x>0)
在(1,+∞)上为增函数,函数g(x)=lnx-mx(x>0)在(1,+∞)上为减函数.
(1)分别求出函数f(x)和g(x)的导函数;
(2)求实数m的值;
(3)求证:当x>0时,
xln(1+
1
x
)<1<(x+1)ln(1+
1
x
)
.
答案
(1)f"(x)=
1
x
-
m
x
2
…(2分)
g"(x)=
1
x
-m
=
1-mx
x
…(4分)
(2)因为函数
f(x)=lnx+
m
x
(x>0)
在(1,+∞)上为增函数,
所以当x>1时,f"(x)=
1
x
-
m
x
2
=
x-m
x
2
≥0恒成立,得m≤1.
因为函数g(x)=lnx-mx(x>0)在(1,+∞)上为减函数.
所以当x>1时,g"(x)=
1
x
-m
=
1-mx
x
≤0恒成立,得m≥1.
从而m=1.…(6分)
(3)当x>0时,1+
1
x
>1,
所以由(1)知:f(1+
1
x
)>f(1),即:ln(1+
1
x
)+
x
x+1
>1,
化简得:(1+x)ln(1+
1
x
)>1
g(1+
1
x
)<g(1),即:ln(1+
1
x
)-(1+
1
x
)<-1,
化简得:xln(1+
1
x
)<1.
所以当x>0时,xln(1+
1
x
)<1<(x+1)ln(1+
1
x
).…(8分)
举一反三
已知f(x)是定义域为R的奇函数,设f(x)=|x|,x∈(0,1],如果对于任意的x∈R,都有f(x)+f(x+1)=2成立,那么f(9)=( )
A.1
B.2
C.16
D.18
题型:单选题
难度:简单
|
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在一条弯曲的河道上依次有5个水文监测站A、B、C、D、E,且A与B、B与C、C、与D、D与E沿河道的距离分别为3、4、4、3.现需在河边建一个情报中心,从各监测站分别向情报中心沿河边铺设通信电缆,则恰当选择情报中心的位置后通信电缆总长度的最小值为______.
题型:填空题
难度:一般
|
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对于使-x
2
+2x≤M成立的所有常数M中,我们把M的最小值l做-x
2
+2x的上确界,若a,b∈R,且a+b=1,则-
1
2a
-
2
b
的上确界为______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=kx+b(k≠0)的图象与x,y轴分别相交于点A、B,向量
AB
=(2,2),函数g(x)=x
2
-3x+5.
(1)求f(x);
(2)当x满足f(x)>g(x)时,求函数
g(x)-1
f(x)-2
的最小值.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知函数
f(x)=
x
3
+lg(x+
x
2
+1
)
,且x
1
+x
2
>0,x
2
+x
3
>0,x
3
+x
1
>0,则f(x
1
)+f(x
2
)+f(x
3
)的值( )
A.小于0
B.大于0
C.等于0
D.以上都有可能
题型:单选题
难度:简单
|
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