记min{p,q}=p,p≤qq.p>q.(1)若函数f(x)=min{x,23(x-1)},求f(x)表达式(2)求f(x)=min{3|x-p1|,2×3|

记min{p,q}=p,p≤qq.p>q.(1)若函数f(x)=min{x,23(x-1)},求f(x)表达式(2)求f(x)=min{3|x-p1|,2×3|

题型:解答题难度:一般来源:不详
min{p,q}=





p,p≤q
q.p>q

(1)若函数f(x)=min{


x
2
3
(x-1)}
,求f(x)表达式
(2)求f(x)=min{3|x-p1|,2×3|x-p2|)}=3|x-p1|,对所有实数x成立的充分必要条件(用p1,p2表示);
(3)若f(x)=min{3|x-p1|,2×3|x-p2|)},且f(a)=f(b)(a,bp1,p2为实数,且a<bp1,p2∈(a,b))求f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的长度和(闭区间[m,n]的长度定义为n-m).
答案
(1)f(x)=







x
  


x
2
3
(x-1)
2
3
(x-1)
  


x
2
3
(x-1)

=







x
  ,x∈[4,+∞)
&
2
3
(x-1)
 & &x∈[0,4)
5分
(2)由f(x)的定义可知,f(x)=3|x-p1|这等价于3|x-p1|≤2•3|x-p2|(对所有实数x)
即 3|x-p1|-|x-p2|3log32=2对所有实数x均成立.(*)                  8分
由于|x-p1|-|x-p2|≤|(x-p1)-(x-p2)|=|p1-p2|(x∈R)的最大值为|p1-p2|,
故(*)等价于3|p1-p2|≤2,即|p1-p2|≤log32,这就是所求的充分必要条件      11分
(3)1°如果|p1-p2|≤log32,则的图象关于直线x=p1对称.因为f(a)=f(b),
所以区间[a,b]关于直线x=p1对称.因为减区间为[a,p1],增区间为[p1,b],
所以单调增区间的长度和为
b-a
2
14分
2°如果|p1-p2|>log32.
(1)当p1-p2>log32时.f1(x)=





3x-p1,x∈[p1,b]
3p1-x,x∈[a,p1]
,f2(x)=





3x-p2+log32,x∈[p2,b]
3p 2-x+log32,x∈[a,p2]

当x∈[p1,b],
f1(x)
f2(x)
=3p2-p1-log3230
=1,因为f1(x)>0,f2(x)>0,所以f1(x)<f2(x),
故f(x)=f1(x)=3x-p1,当x∈[a,p2],
f1(x)
f2(x)
=3p1-p2-log3230
=1,因为f1(x)>0,f2(x)>0,
所以f1(x)>f2(x)故f(x)=f2(x)=3p2-x+log32
因为f(a)=f(b),所以3b-p1=3p2-a+log32,即a+b=p1+p2+log32
当x∈[p2,p1]时,令f1(x)=f2(x),则3p1-x=3x-p2+log32,所以x=
p1+p2-log32
2

当x∈[p2
p1+p2-log32
2
]时,f1(x)≥f2(x),所以f(x)=f2(x)=3x-p2+log32x∈[
p1+p2-log32
2
p1
]时,f1(x)≤f2(x),所以f(x)=f1(x)=3p1-xf(x)在区间[a,b]上的单调增区间的长度和b-p1+
p1+p2-log32
2
-p2

=b-
p1+p2+log32
2
=b-
a+b
2
=
b-a
2
16分
(2)当p2-p1>log32时.类似可求得:f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的长度和b-p2+
p1+p2+log32
2
-p1
=b-
p1+p2-log32
2
=
b-a
2

综上得f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的长度和为
b-a
2
18分.
举一反三
给出下列四个函数:
y=x+
1
x
(x≠0)
②y=3x+3-xy=


x2+2
+
1


x2+2
y=sinx+
1
sinx
,x∈(0,
π
2
)

其中最小值为2的函数是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=(|x|-1)(x+a)为奇函数,则f(x)增区间为______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
对于任意的两个实数对(a,b)(c,d),规定:(a,b)=(c,d),当且仅当a=c,b=d;
定义运算“⊗”为:(a,b)⊗(c,d)=(ac-bd,bc+ad),
运算“⊕”为:(a,b)⊕(c,d)=(a+c,b+d).
设p,q∈R,若(1,2)⊗(p,q)=(5,0),则(1,2)⊕(p,q)=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
函数y=a


1-ax
(a≠0)
)在(1,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
方程x3-3x-m=0在[0,1]上有实数根,则m的最大值是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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