(1)设一次函数f(x)满足f(3)=2,f(2)=3,求f(5)的值;(2)若函数f(x)的定义域为[a,b],值域为[a,b](a<b),则称函数f(x)是

(1)设一次函数f(x)满足f(3)=2,f(2)=3,求f(5)的值;(2)若函数f(x)的定义域为[a,b],值域为[a,b](a<b),则称函数f(x)是

题型:解答题难度:一般来源:不详
(1)设一次函数f(x)满足f(3)=2,f(2)=3,求f(5)的值;
(2)若函数f(x)的定义域为[a,b],值域为[a,b](a<b),则称函数f(x)是[a,b]上的“方正”函数.
①设g(x)=
1
2
x2-x+
3
2
是[a,b]上的“方正”函数,求常数a,b的值.
②问是否存在常数a,b(a>-2),使函数h(x)=
1
x+2
是区间[a,b]上的“方正”函数?若存在,求出a,b的值;不存在,说明理由.
答案
(1)设f(x)=mx+n(m≠0),又f(3)=2,f(2)=3,
所以3m+n=2,2m+n=3⇒m=-1,n=5
即f(x)=-x+5⇒f(5)=0;…(4分)
(2)①由g(x)=
1
2
(x-1)2+1≥1
知g(x)在[a,b]上单调增函数且a≥1,
所以值域为[g(a),g(b)],
由已知g(x)=
1
2
x2-x+
3
2
是[1,b]上的“方正”函数,所以[g(a),g(b)]=[a,b]
则g(a)=a,g(b)=b,即a,b是方程g(x)=x的两个根(1≤a<b)
解方程
1
2
x2-x+
3
2
=x
得x=1或x=3,所以a=1,b=3…(9分)
②假设存在常数a,b,使函数h(x)=
1
x+2
是区间[a,b]上的“方正”函数.
因a>-2,显然h(x)=
1
x+2
在区间[a,b]上是单调减函数,值域为[h(b),h(a)]=[a,b],





h(a)=b
h(b)=a





1
a+2
=b
1
b+2
=a





(a+2)b=1
(b+2)a=1
⇒(a+2)b=(b+2)a⇒a=b
与a<b矛盾,
故不存在常数a,b,使函数h(x)=
1
x+2
是区间[a,b]上的“方正”函数.…(14分)
举一反三
已知函数f(x)=
ax
ax+


 a 
( a>0,a≠1 )

(1)求f(x)+f(1-x)及f(
1
10
)+f(
2
10
)+f(
3
10
)+…+f(
9
10
)
的值;
(2)是否存在自然数a,使


a
f(n)
f (1-n)
n2
对一切n∈N都成立,若存在,求出自然数a的最小值;不存在,说明理由;
(3)利用(2)的结论来比较
1
4
n (n+1 )•lg3
和lg(n!)(n∈N)的大小.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
在实数范围内解不等式:5x≥4x+1.并利用解此题的方法证明:3x+4x=5x有唯一解.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
请写出符合下列条件的一个函数表达式 ______.
①函数在(-∞,-1)上递减;②函数具有奇偶性;③函数有最小值3.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知f(x)=x2-4x+5在区间[t,t+2]上的最小值为g(t)
(1)写出函数g(t)的解析式;
(2)画出函数g(t)的图象,并指出函数g(t)的单调增区间和单调减区间.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=k?a-x(k,a为常数,a>0且a≠1)的图象过点A(0,1),B(3,8)
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若函数g(x)=
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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