设函数f(x)=a-22x+1,(1)求证:不论a为何实数f(x)总为增函数;(2)确定a的值,使f(x)为奇函数;(3)若不等式f(x)+a>0恒成立,求实数

设函数f(x)=a-22x+1,(1)求证:不论a为何实数f(x)总为增函数;(2)确定a的值,使f(x)为奇函数;(3)若不等式f(x)+a>0恒成立,求实数

题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数f(x)=a-
2
2x+1

(1)求证:不论a为何实数f(x)总为增函数;
(2)确定a的值,使f(x)为奇函数;
(3)若不等式f(x)+a>0恒成立,求实数a的取值范围.
答案
(1)f(x)的定义域为R,设x1<x2
f(x1)-f(x2)=a-
2
2x1+1
-a+
2
2x2+1
=
2•(2x1-2x2)
(1+2x1)(1+2x2)

∵x1<x2,∴2x1-2x2<0,(1+2x1)(1+2x2)>0,∴f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2),所以不论a为何实数f(x)总为增函数.

(2)∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),即a-
2
2-x+1
=-a+
2
2x+1

解得:a=1.∴f(x)=1-
2
2x+1
.

(3)∵2x+1>1,∴0<
2
2x+1
<2

f(x)=a-
2
2x+1
,∴f(x)+a>0可化为2a-
2
2x+1
>0,
2a>
2
2x+1
.故要使f(x)+a>0恒成立,只须2a≥2,
即a≥1.
举一反三
已知f(x)是R上的一个偶函数,g(x)是R上的一个奇函数,且满足f(x)=g(x)+ax(a>0,a≠1).
(1)求函数f(x)的解析式;(2)设f( 1 )=
5
4
,求a与f(2)的值;(3)设f(x0)=m,f(2x0)=m,求x0与m的值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
证明函数f(x)=ax2+bx+c(a<0)在(-∞,-
b
2a
)
上是增函数.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
下列结论中,正确的有______(写出所有正确结论的序号)
①若定义在R上的函数f(x)满足f(2010)>f(2009),则函数f(x)在R上不是单调减函数;
②若定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,0]上是单调减函数,在区间(0,+∞)上也是单调减函数,则函数函数f(x)在R上是单调减函数;
③若定义在R上的函数f(x)满足f(-2010)=-f(2010),则函数f(x)是奇函数;
④若定义在R上的函数f(x)满足f(-2010)≠f(2010),则函数f(x)不是偶函数.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
(1)设一次函数f(x)满足f(3)=2,f(2)=3,求f(5)的值;
(2)若函数f(x)的定义域为[a,b],值域为[a,b](a<b),则称函数f(x)是[a,b]上的“方正”函数.
①设g(x)=
1
2
x2-x+
3
2
是[a,b]上的“方正”函数,求常数a,b的值.
②问是否存在常数a,b(a>-2),使函数h(x)=
1
x+2
是区间[a,b]上的“方正”函数?若存在,求出a,b的值;不存在,说明理由.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=
ax
ax+


 a 
( a>0,a≠1 )

(1)求f(x)+f(1-x)及f(
1
10
)+f(
2
10
)+f(
3
10
)+…+f(
9
10
)
的值;
(2)是否存在自然数a,使


a
f(n)
f (1-n)
n2
对一切n∈N都成立,若存在,求出自然数a的最小值;不存在,说明理由;
(3)利用(2)的结论来比较
1
4
n (n+1 )•lg3
和lg(n!)(n∈N)的大小.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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