(1)设x>y,∵f(x+y)=f(x)f(y),∴f(x)=, 令x=x-y,代入上式得,f(x-y)=, ∵x>y,∴x-y>0,∵当x>0时,f(x)>1, ∵f(x-y)>1,∴>1,则f(x)>f(y), ∴f(x)在R上为单调增函数; (2)∵f(1)=2,f(x+y)=f(x)f(y),∴f(2)=f(1+1)=f(1)f(1)=4, 由于f(3x-x2)>4,∴f(3x-x2)>f(2), 又∵f(x)在R上为单调增函数,∴3x-x2-2>0,解得1<x<2, ∴不等式的解集是(1,2); (3)令x=0,y=1代入f(x+y)=f(x)f(y),得f(0+1)=f(0)f(1)=f(1), ∵f(1)=2,∴f(0)=1, 令x=2,y=1代入f(x+y)=f(x)f(y),得f(2+1)=f(2)f(1)=8,即f(3)=8, ∴f(x+3)=f(x)f(3)=8f(x),代入[f(x)]2+f(x+3)=f(2)+1得, [f(x)]2+4f(x)-5=0,解得f(x)=1或-5, 令y=-x代入f(0)=f(x)f(-x)=1,即f(-x)=, ∵f(x)在R上为单调增函数,f(0)=1; ∴f(x)>0,则f(x)=-5舍去,故f(x)=1,即x=0, 所以所求的方程解是0. |