已知函数y=10x-110x+1．（1）写出函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性；（3）试证明函数在定义域内是增函数．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数y=

10x-1

10x+1

．
（1）写出函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）试证明函数在定义域内是增函数．

答案

（1）∵10^x+1＞0恒成立
∴函数的定义域R
（2）∵f（-x）=

10-x-1

10-x+1

1-10x

1+10x

=-f（x）
∴f（x）是奇函数
（3）设任意两个变量x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=

10x1-1

10x1+1

10x2-1

10x2+1

2(10x1-10x2)

(10x1+1)•(10x2+1)

＜0
即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在定义域内是增函数．

举一反三

已知函数f(x)=

x2+x+4

，(x＞0)

x2-x+4

，(x＜0).

（1）求证：函数f（x）是偶函数；
（2）判断并证明函数f（x）在区间（0，2]上的单调性；
（3）根据以上结论猜测f（x）在[-2，0）上的单调性，不需要证明．

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函数f(x)=

-(x-1)2，(x＜1)

(3-a)x+4a，(x≥1)

满足对任意x₁≠x₂都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立，则a的取值范围是______．

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已知函数f（x）=（2a-1）^x，若对任意实数m，n，当m＜n时，总有f（m）＞f（n），则实数a的取值范围______．

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函数y=-2x²+4x-1（x∈[0，3]）的最大值是M，最小值是m，则M-m=______．

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已知函数f(x)=m(x+

)-2的图象与函数h(x)=

(x+

)+2的图象关于原点对称．
（1）求m的值；
（2）若g(x)=f(x)+

，求g（x）在区间[1，2]上的最小值．

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