已知函数f(x)=x+1x.(1)判断f(x)的奇偶性并说明理由;(2)判断f(x)在(0,1]上的单调性并加以证明.
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已知函数f(x)=x+1x.(1)判断f(x)的奇偶性并说明理由;(2)判断f(x)在(0,1]上的单调性并加以证明.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)=
x+
1
x
.
(1)判断f(x)的奇偶性并说明理由;
(2)判断f(x)在(0,1]上的单调性并加以证明.
答案
(1)奇函数
定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称
又∵f(-x)=
-x+
1
-x
=-(x+
1
x
)=-f(x)
∴函数f(x)=
x+
1
x
为(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数
(2)f(x)在(0,1]上的单调递减
0<x
1
<x
2
≤1,则0<x
1
x
2
<1,x
1
-x
2
<0
∴
f(
x
1
)-f(
x
2
)=(
x
1
-
x
2
)+(
1
x
1
-
1
x
2
)
=
(
x
1
-
x
2
)+(
x
2
-
x
1
x
1
x
2
)
=
(
x
1
-
x
2
)(
x
1
x
2
-1)
x
1
x
2
>0
即f(x
1
)>f(x
2
)
所以f(x)在(0,1]上的是单调递减函数
举一反三
设函数f(x)=x
2
+mx(m为小于零的常数)的定义域是不等式x
2
-2x≤-x的解集,并且f(x)的最小值是-1.
(Ⅰ)解不等式x
2
-2x≤-x;
(Ⅱ)求m的值.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知函数
f(x)=
x+5
x
2
2x
x≤-1
-1<x<3
x≥3
,若f(a)=4,则a的值为______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
已知函数y=
10
x
-1
10
x
+1
.
(1)写出函数的定义域;
(2)判断函数的奇偶性;
(3)试证明函数在定义域内是增函数.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知函数
f(x)=
x
2
+x+4
x
,(x>0)
-
x
2
-x+4
x
,(x<0).
(1)求证:函数f(x)是偶函数;
(2)判断并证明函数f(x)在区间(0,2]上的单调性;
(3)根据以上结论猜测f(x)在[-2,0)上的单调性,不需要证明.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
函数
f(x)=
-(x-1
)
2
,(x<1)
(3-a)x+4a,(x≥1)
满足对任意x
1
≠x
2
都有
f(
x
1
)-f(
x
2
)
x
1
-
x
2
>0
成立,则a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
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