判断函数f(x)=x+1x(x≥1)的单调性并给出证明．

题型：解答题难度：一般来源：不详

判断函数f(x)=x+

(x≥1)的单调性并给出证明．

答案

函数f(x)=x+

在[1，+∞）上为单调递增函数（4分）
理由如下：
设1≤x₁＜x₂，
则有f(x1)-f(x2)=x1+

-(x2+

)
=(x1-x2)

x2x1-1

x1x2

（8分）

∵1≤x1＜x2

，
∴x1-x2＜0，x1x2-1＞0（12分）
所以函数f(x)=x+

在[1，+∞）上为单调递增函数（14分）

举一反三

若f（x）和g（x）都是定义在R上的函数，且满足f（x-y）=f（x）g（y）-g（x）f（y），f（-2）=f（1）≠0，则g（1）+g（-1）=______

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已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）且满足f（-1）=0对任意实数x，都有f（x）-x≥0，并且当x∈（0，2）时，有f(x)≤(

x+1

)2
（1）求f（1）的值；
（2）证明：a＞0、c＞0；
（3）当x∈[-1，1]时，g（x）=f（x）-mx（m∈R）是单调的，求证：m≤0或m≥1．

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已知函数f(x)=

x-1

x-2

（1）求f（2x+2）的解析式，并求其定义域
（2）判断函数f（x）在x∈（2，+∞）上的单调性，并证明．

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已知函数f(x)={

5x+1，x≥0

-3x+2，x＜0

，则f（1）+f（-1）的值为______．

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已知定义在[1，4]上的函数f（x）=x²-2bx+

（b≥1），
（ I）求f（x）的最小值g（b）；
（ II）求g（b）的最大值M．

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