若f(x)和g(x)都是定义在R上的函数,且满足f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y),f(-2)=f(1)≠0,则g(1)+g(-1)=______
题型:填空题难度:一般来源:不详
若f(x)和g(x)都是定义在R上的函数,且满足f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y),f(-2)=f(1)≠0,则g(1)+g(-1)=______ |
答案
∵f(x-y) =f(x)g(y)-g(x)f(y) =-[g(x)f(y)-f(x)g(y)] =-[f(y)g(x)-g(y)f(x)] =-f(y-x) ∴f(x)是奇函数.
-f(-2)=f(2) =f[1-(-1)] =f(1)g(-1)-f(-1)g(1) =f(1)g(-1)+f(1)g(1) =f(1)[g(-1)+g(1)] 又∵f(-2)=f(1), ∴g(-1)+g(1)=-1 故答案为:-1 |
举一反三
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)且满足f(-1)=0对任意实数x,都有f(x)-x≥0,并且当x∈(0,2)时,有f(x)≤()2 (1)求f(1)的值; (2)证明:a>0、c>0; (3)当x∈[-1,1]时,g(x)=f(x)-mx(m∈R)是单调的,求证:m≤0或m≥1. |
已知函数f(x)= (1)求f(2x+2)的解析式,并求其定义域 (2)判断函数f(x)在x∈(2,+∞)上的单调性,并证明. |
已知函数f(x)={,则f(1)+f(-1)的值为______. |
已知定义在[1,4]上的函数f(x)=x2-2bx+(b≥1), ( I)求f(x)的最小值g(b); ( II)求g(b)的最大值M. |
已知f(x+1)=2x2-4x,则f(1-)=______. |
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